14 BERNHARD RIEMANN, 
4. 
Hiernach erhält man als Differential-Gleichung der Fläche 
(1) cosr dr + sinr cosydy + sinr sing dz — 0. 
Sind y und z die unabhängigen Variabeln, so ergeben sich für r 
und e die Gleichungen 
kaa Ei a EE 
Hoa G GT 
= 
sinr coso = 
Ay = 
NE) 
; ` dz 
sinr sing = 
e dan? din? 
; FV i+ +) 
in welchen gleichzeitig entweder die oberen oder die unteren Vorzeichen 
gelten. 
Ein Parallelogramm auf der positiven Seite der Fläche, begrenzt 
von den Curven (p) und (p + dp), (4) und (g + dq), projieirt sich auf 
der yz Ebene in einem Flächenelemente, dessen Inhalt gleich dem ab- 
soluten Werthe von (dy dz) ist. Das Vorzeichen dieser Functionaldeter- 
minante ist verschieden, je nachdem die im Punkte (p, g) errichtete po- 
sitive Normale mit der positiven x Axe einen spitzen oder stumpfen Win- 
kel einschliesst. In dem ersten Falle liegen nemlich die Projectionen 
von dp und dg in der yz Ebene ebenso zu einander wie die positive 
y Axe zur positiven z Axe, im zweiten Falle umgekehrt. Daher ist die 
Functionaldeterminante im ersten Falle positiv, im zweiten negativ. Und 
der Ausdruck 
1 
cos r 
(dy dz) 
