ÜBER D. FLÄCHE V. KLEINSTEN INHALT BEI GEGEBENER BEGRENZUNG. 15 
ist immer positiv. Ergibt den Inhalt des unendlich kleinen Parallelo- 
gramms auf der Fläche. Um also den Inhalt der F läche selbst zu er- 
halten, hat man das oe 
Ss = 
I cos r (dy ds) 
über die ganze Fläche zu erstrecken. 
Soll dieser Inhalt ein Minimum sein, so ist die erste Variation des 
Doppelintegrals — 0 zu setzen. Man erhält 
dr dx dr Ze 
dy y Sa de ü 
Va O" 
und es gilt das obere oder das untere Zeichen vor der,Wurzel, je nach- 
dem (dy dz) positiv oder negativ ist. Die linke Seite lässt sich schreiben 
Ur (— sinr oos e. òx). (dy dz) +2 (— sinr sin o . dx) . (dy dz) 
— Die, Aaen cos gei. (dy dz) — His, $ ~ (— sinr sin el. (dy dz). 
Die beiden ersten Integrale reduciren sich auf einfache Integrale, die in 
der Richtung der wachsenden g durch die Begrenzung der Fläche zu neh- 
men sind, nemlich 
SIde.(— sinr cosg ds + sinr sin p dy). 
Der Werth ist — 0, da in der Begrenzung ðr — 0 ist. Die Bedingung 
des Minimum lautet also 
en d (siar sin g) T 
ffe (È + T) 4 d) = 0. 
Sie wird erfüllt, wenn 
(2) — sinr sing dy + sinr coso ds — dr 
ein vollständiges Differential ist. 
