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I ca | BERNHARD RIEMANN, 
5. 
Die Coordinatenr und 9 auf der Kugel lassen sich ersetzen durch 
gi 
r ; | 
eine complexe Grösse y — tg Ca E deren geometrische Bedeutung 
leicht zu erkennen ist. Legt man nemlich an die Kugel im Pol eine 
Tangentialebene, deren positive Seite von der Kugel abgekehrt ist, und 
zieht vom Gegenpol eine Gerade durch den Punkt (r,g), so trifft diese 
die Tangentialebene in einem Punkte, der die complexe Grösse 27 reprä- 
sentirt. Dem Pol entspricht n — 0, dem Gegenpol 7 = ©. Für die 
Punkte, welche die Richtungen der positiven y und z Axe angeben, ist 
1 = + 1 und;resp. =+ CG 
Führt man noch die complexen Grössen a = tg = ER ai s—y-+ Si 
d = y — zi ein, so gehen die Gleichungen (1) und (2) über in folgende: 
(1%) A—m) de -+ n ds + n d = 0, 
(2%) Dei di — n ds + nd = 0. 
Diese lassen sich durch Addition und Subtraction verbinden. Dabei werde 
ge + i= 2 X, 2 — yi = 2 X' gesetzt, so dass umgekehrt z — X + X ist. 
Das Problem findet dann seinen analytischen Ausdruck in den beiden 
Gleichungen | Ä 
(3) de — ndX + 4X = 0, 
© d + dX— VAR — 0. 
Betrachtet man X und X als unabhängige Variable und stellt die 
Bedingungen dafür auf, dass ds und ds’ vollständige Differentiale sind, 
so findet sich 
Eë E 
e A 
d. h. es isty nur von X, 4 nur von X’ abhängig, und deshalb umgekehrt 
X eine Function nur von n, X eine Function nur von ý. 
