96 ; B. RIEMANN, 
hen vollkommen richtig erkannt !); sie wurden seitdem in der mathema- 
tischen Physik zur Darstellung willkührlicher Functionen vielfach ange- 
wandt, und in jedem einzelnen Falle überzeugte man sich leicht, dass 
die Fourier'sche Reihe wirklich gegen den Werth der Function convergire; 
aber es dauerte lange, ehe dieser wichtige Satz allgemein bewiesen 
wurde. 
Der Beweis, welchen Cauchy in einer der Pariser Akademie am 
27. Febr. 1826 vorgelesenen Abhandlung gab?), ist unzureichend, wie 
Dirichlet gezeigt hat). Cauchy setzt voraus, dass, wenn man in der 
willkührlich gegebenen periodischen Function f (x) für e ein complexes 
Argument z + yi setzt, diese Function für jeden Werth von y endlich 
sei. Dies findet aber nur Statt, wenn die Function gleich einer con- 
stanten Grösse ist. Man sieht indess leicht, dass diese Voraussetzung 
für die ferneren Schlüsse nicht nothwendig ist. Es reicht hin, wenn 
eine Function 9 Je + yi) vorhanden ist, welche für alle positiven Werthe 
von y endlich ist und deren reeller Theil für y — 0 der gegebenen pe- 
riodischen Function f Lei gleich wird. Will man diesen Satz, der in 
der That richtig ist *), voraussetzen, so führt allerdings der von Cauchy 
eingeschlagene Weg zum Ziele, wie er dieser Satz sich aus der 
Fouriersschen Reihe ableiten lässt. 
3. 
Erst im Januar 1829 erschien im Journal von Crelle 5) eine Ab- 
handlung von Dirichlet, worin für Functionen, die durchgehends eine 
Integration zulassen und nicht unendlich viele Maxima und Minima ha- 
ben, die Frage ihrer Darstellbarkeit durch trigonometrische Reihen in 
aller Strenge entschieden wurde. 
1) Bulletin d. sc. Tom. I. p. 115. Les coefficients a, o, a”. . . étant ainsi 
ono &c. 
2) Mémoires de Pac. d. sc. de Paris. Tom. VI. p. 603. 
3) Crelle Journal für die Mathematik. Bd. IV. p. 157 & 158. 
4) Der Beweis findet sich in der Inauguraldissertation des Verfassers, 
echt Bd: IV. pag. 157. 
