ÜB. D. DARSTELLBARK. E. FUNCTION DURCH E. TRIGONOMETR. REIHE. 97 
Die Erkenntniss des zur Lösung dieser Aufgabe einzuschlagenden 
Weges ergab sich ihm aus der Einsicht, dass die unendlichen Reihen 
in zwei wesentlich verschiedene Klassen zerfallen, je nachdem sie, wenn 
man sämmtliche Glieder positiv macht, convergent bleiben oder nicht. 
In den ersteren können die Glieder beliebig versetzt werden, der Werth 
der letzteren dagegen ist von der Ordnung der Glieder abhängig. In 
der That, bezeichnet man in einer Reihe zweiter Klasse die positiven 
Glieder der Reihe nach durch 
Ba, 
die negativen durch 
gt ee Ae, SS 
so ist klar, dass sowohl Ya, als Xb unendlich sein müssen; denn wären 
beide endlich, so würde die Reihe auch nach Gleichmachung der Zeichen 
convergiren; wäre aber eine unendlich, so würde die Reihe divergiren. 
Offenbar kann nun die Reihe durch geeignete Anordnung der Glieder 
einen beliebig gegebenen Werth C erhalten. Denn nimmt man abwech- 
selnd so lange positive Glieder der Reihe, bis ihr Werth grösser als C 
wird, und so lange negative, bis ihr Werth kleiner als C wird, so wird 
die Abweichung von C nie mehr betragen, als der Werth des dem letz- 
ten Zeichenwechsel voraufgehenden Gliedes. Da nun sowohl die Grössen 
a, als die Grössen 5 mit wachsendem Index zuletzt unendlich klein 
werden, so werden auch die Abweichungen von C, wenn man in der 
Reihe nur hinreichend weit fortgeht , beliebig klein werden, d. h. die 
Reihe wird gegen C convergiren. 
Nur auf die Reihen erster Klasse sind die Gesetze endlicher Sum- 
men anwendbar; nur sie können wirklich als Inbegriff ihrer Glieder be- 
trachtet werden, die Reihen der zweiten Klasse nicht; ein Umstand, 
welcher von den Mathematikern des vorigen Jahrhunderts übersehen 
wurde, hauptsächlich wohl aus dem Grunde, weil die Reihen, welche 
nach steigenden Potenzen einer veränderlichen Grösse fortschreiten, all- 
gemein zu reden (d. h. einzelne Werthe dieser Grösse ausgenommen), 
zur ersten Klasse gehören. 
Die Fouriersche Reihe gehört nun offenbar nicht nothwendig zur 
Mathem. Classe. XIII. N 
