“ ÜB.D. DARSTELLBARK. E. FUNCTION DURCH E. TRIGONOMETR. REIHE. 99 
vorausgesetzt, dass die Function ø ($) zwischen den Grenzen dieser Inte- 
grale entweder immer abnimmt, oder immer zunimmt. 
Mit Hülfe dieser beiden Sätze lässt sich, wenn die Function f nicht 
unendlich oft vom Zunehmen zum Abnehmen oder vom Abnehmen zum 
Zunehmen übergeht, das Integral 
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offenbar in eine endliche Anzahl von Gliedern zerlegen, von denen 
eins 1) gegen 4 f (x + 0), ein anderes gegen 4 f (æ — 0), die übrigen 
aber gegen 0 convergiren, wenn z ins Unendliche wächst. 
Hieraus folgt, dass durch eine trigonometrische Reihe jede sich 
nach dem Intervall 2% periodisch wiederholende Function darstellbar ist, 
welche 
1) durchgehends eine Integration zulässt, 
2) nicht unendlich viele Maxima und Minima hat und 
3) wo ihr Werth sich sprungweise ändert, den Mittelwerth zwischen 
den beiderseitigen Grenzwerthen annimmt. 
- Eine Function, welche die ersten beiden Figehichaften hat, die 
dritte aber nicht, kann durch eine trigonometrische Reihe offenbar nicht 
dargestellt werden; denn die trigonometrische Reihe, die sie ausser den 
Unstetigkeiten darstellt, würde in den Unstetigkeitspunkten selbst von 
ihr abweichen. Ob und wann aber eine Function, welche die ersten 
beiden Bedingungen nicht erfüllt, durch eine trigonometrische Reihe dar- 
stellbar sei, bleibt durch diese Untersuchung unentschieden. 
Durch diese Arbeit Dirichlets ward einer grossen Menge wichtiger 
1) Es ist nicht schwer zu beweisen, dass der Werth einer Function f, welche 
nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, stets, sowohl wenn der Argument- 
werth abnehmend,; als wenn er zunehmend gleich x wird, entweder festen Grenz- 
werthen f (s + 0) und f(x — 0) inach Dirichlet’s Bezeichnung in Dove’s Repertorium 
der Physik. Bd. 1. pag. 170) sich nähern, oder unendlich gross werden müsse. 
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