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analytischer Untersuchungen eine feste Grundlage gegeben. Es war ihm 
gelungen , indem er den Punkt, wo Euler irrte, in volles Licht brachte, 
eine Frage zu erledigen, die so viele ausgezeichnete Mathematiker seit 
mehr als siebzig Jahren (seit dem Jahre 1753) beschäftigt hatte. In der 
That für alle Fälle der Natur, um welche es sich allein handelte, war 
sie vollkommen erledigt; denn so gross auch unsere Unwissenheit darüber 
ist, wie sich die Kräfte und Zustände der Materie nach Ort und Zeit 
im Unendlichkleinen ändern, so können wir doch sicher annehmen, dass 
die Functionen, auf welche sich die Dirichlet’sche Untersuchung nicht 
erstreckt, in der Natur nicht vorkommen. 
Dessenungeachtet scheinen diese von Dirichlet unerledigten Fälle 
aus einem zweifachen Grunde Beachtung zu verdienen. 
Erstlich steht, wie Dirichlet selbst am Schlusse seiner Abhandlung 
bemerkt, dieser Gegenstand mit den Principien der Infinitesimalrechnung 
in der engsten Verbindung und kann dazu dienen, diese Principien zu 
grösserer Klarheit und Bestimmtheit zu bringen. In dieser Beziehung 
hat die Behandlung desselben ein unmittelbares Interesse. 
Zweitens aber ist die Anwendbarkeit der Fourier'schen Reihen 
nicht auf physikalische Untersuchungen beschränkt; sie ist jetzt auch in 
einem Gebiete der reinen Mathematik, der Zahlentheorie, mit Erfolg an- 
gewandt, und hier scheinen gerade diejenigen Functionen, deren Darstell- 
barkeit durch eine trigonometrische Reihe Dirichlet nicht untersucht hat, 
von Wichtigkeit zu sein. 
Am Schlusse seiner Abhandlung verspricht freilich Dirichlet, später 
auf diese Fälle zurückzukommen, aber dies Versprechen ist bis jetzt 
unerfüllt geblieben. Auch die Arbeiten von Dirksen und Bessel über 
die Cosinus- und Sinusreihen leisten diese Ergänzung nicht; sie stehen 
vielmehr der Dirichlet’schen an Strenge und Allgemeinheit nach. Der 
mit ihr fast ganz gleichzeitige Aufsatz Dirksen’s D welcher offenbar ohne 
Kenntniss derselben geschrieben ist, schlägt zwar im Allgemeinen einen 
richtigen Weg ein, enthält aber im Einzelnen einige Ungenauigkeiten. 
1) Crelle’s Journal. Bd. IV. p. 170. 
