102 B. RIEMANN, 
voraufzuschicken über den Begriff eines bestimmten Integrals und den 
Umfang seiner Gültigkeit. 
b 
Also zuerst: Was hat man unter F f (x) dr zu verstehen ? 
d e 
Um dieses festzusetzen, nehmen wir zwischen a und 5 der Grösse 
nach auf einander folgend, eine Reihe von Werthen o, £2, . . Za 
an und bezeichnen der Kürze wegen a — a durch di, ës — Tı durch 
d, -. be durch ða und durch e einen positiven ächten Bruch. 
Es wird alsdann der Werth der Summe 
S= 0, fla +s, 9,) + d fie, + 22 9.) + d fa ts I) + --- 
+ Òn f La A + En Òn) 
von der Wahl der Intervalle d und der Grössen e abhängen. Hat sie 
nun die Eigenschaft, wie auch d und s gewählt werden mögen, sich einer. 
festen Grenze A unendlich zu nähern, sobald sämmtliche d unendlich 
b 
klein werden, so heisst dieser Werth / f (x) de. 
b 
Hat sie diese Eigenschaft nicht, so hat Fr (x) dr keine Bedeutung. 
Man hat jedoch in mehreren Fällen versucht, diesem Zeichen auch dann 
eine Bedeutung beizulegen, und unter diesen Erweiterungen des Begriffs 
eines bestimmten Integrals ist eine von allen Mathematikern angenom- 
men. Wenn nämlich die Function f (s) bei Annäherung des Arguments 
an einen einzelnen Werth em dem Intervalle (a, b) unendlich gross 
wird, so kann offenbar die Summe S, welchen Grad von Kleinheit man 
auch den d vorschreiben möge, jeden beliebigen Werth erhalten; sie hat 
b 
also keinen Grenzwerth, und Sé f(x) de würde nach dem Obigen keine 
c— a, A S 
Bedeutung haben. Wenn aber alsdann reide + f rei de sich, 
a c+a, 
wenn o, und œ, unendlich klein werden, einer festen Grenze nähert, so 
b 
versteht man unter f f (£) dr diesen Grenzwerth. 
EI 
