ÜB. D. DARSTELLBARK. E. FUNCTION DURCH E. TRIGONOMETR. REIHE. 103 
Andere Festsetzungen von Cauchy über den Begriff des bestimmten 
Integrales in den Fällen, wo es dem Grundbegriffe nach ein solches 
nicht giebt, mögen für einzelne Klassen’ von Untersuchungen zweckmässig 
sein; sie sind indess nicht allgemein eingeführt und dazu, schon wegen 
ihrer grossen Willkührlichkeit, wohl kaum geeignet. 
5. 
Untersuchen wir jetzt zweitens den Umfang der Gültigkeit dieses 
Begriffs oder die Frage: in welchen Fällen lässt eine Function eine In- 
tegration zu und in welchen nicht? 
Wir betrachten zunächst den Integralbegriff im engern Sinne, d.h. 
wir setzen voraus, dass die Summe 5. wenn sämmtliche d unendlich klein 
werden, convergirt. Bezeichnen wir also die grösste Schwankung der 
Function zwischen a und &,, d. h. den Unterschied ihres grössten und 
kleinsten Werthes in diesem Intervalle, durch D,, zwischen z, und z, 
dyb E zwischen Zn—ı und 5 durch Da, so muss 
d, D, d D zt d D 
mit den Grössen d unendlich klein werden. Wir nehmen ferner an, 
dass, so lange sämmtliche d kleiner als d bleiben, der grösste Werth, den 
diese Summe erhalten kann, A sei; A wird alsdann eine Function von 
d sein, welche mit d immer abnimmt und mit dieser Grösse unendlich 
klein wird. Ist nun die Gesammtgrösse der Intervalle, in welchen die 
Schwankungen grösser als o sind, —s, so wird der Beitrag dieser Inter- ` 
valle zur Summe d, D; +8, D. +... + ôn Dn offenbar > os. Man 
hat daher 
o Zo D, +9, D, +... +d D, Z A, folglich s Z 
B kann nun, wenn ø gegeben ist, immer durch geeignete Wahl von d 
o 
beliebig klein gemacht werden; dasselbe gilt daher von s, und es ergiebt 
sich also: | 
Damit. die Summe $, wenn sämmtliche d unendlich klein werden, 
