m B. RIEMANN, 
convergirt, ist ausser der Endlichkeit der Function f (x) noch erforder- 
lich, dass die Gesammtgrösse der Intervalle, in welchen die Schwankun- 
' gen > ø sind, was auch e sei, durch geeignete Wahl von d beliebig 
klein gemacht werden kann. 
Dieser Satz lässt sich auch umkehren: 
Wenn die Function f (æ) immer endlich ist, und bei unendlichem 
Abnehmen sämmtlicher Grössen ð die Gesammtgrösse s der Intervalle, 
in welchen die Schwankungen der Function f (x) grösser, als eine ge- 
gebene Grösse o, sind, stets zuletzt unendlich klein wird, so convergirt 
die Summe S, wenn sämmtliche d unendlich klein werden. 
Denn diejenigen Intervalle, in welchen die Schwankungen > ø sind, 
liefern zur Summe di Dh + ð, D, +... + D einen Beitrag, 
kleiner, als s, multiplieirt in die grösste Schwankung der Function zwi- 
schen a und b, welche (n. V.) endlich ist; die übrigen Intervalle einen ` 
Beitrag < o (b — a). Offenbar kann man nun erst ø beliebig klein an- 
nehmen und dann immer noch die Grösse der Intervalle (n. V.) so be- 
bestimmen, dass auch s beliebig klein wird, wodurch der Summe 
ð Dı +... d Dn jede beliebige Kleinheit gegeben, und folglich 
der Werth der Summe S in beliebig enge Grenzen eingeschlossen wer- 
den kann. 
Wir haben also Bedingungen gefunden, welche nothwendig und 
hinreichend sind, damit die Summe S bei unendlichem Abnehmen der 
Grössen d convergire und also im engern Sinne von einem Integrale der 
Function f (x) zwischen a und b die Rede sein könne. 
Wird nun der Integralbegriff wie oben erweitert, so ist offenbar, 
damit die Integration durchgehends möglich sei, die letzte der beiden 
gefundenen Bedingungen auch dann noch nothwendig; an die Stelle der 
Bedingung, dass die Function immer endlich sei, aber tritt die Bedin- 
gung, dass die Function nur bei Annäherung des Arguments an ein- 
zelne Werthe unendlich werde, und dass sich ein bestimmter Grenz- 
werth ergebe, wenn die Grenzen der Integration diesen Werthen unend- 
lich genähert werden. 
