ÜB. D. DARSTELLBARK. E. FUNCTION DURCH E. TRIGONOMETR. REIHE. 105 
6. 
Nachdem wir die Bedingungen für die Möglichkeit eines bestimm- 
ten Integrals im Allgemeinen, d. h. ohne besondere Voraussetzungen 
über die Natur der zu integrirenden Function, untersucht haben, soll nun 
diese Untersuchung in besonderen Fällen theils angewandt, theils weiter 
ausgeführt werden, und zwar zunächst für die Functionen, welche zwi- 
schen je zwei noch so engen Grenzen unendlich oft unstetig sind. 
Da diese Functionen noch nirgends betrachtet sind, wird es gut 
sein, von einem bestimmten Beispiele auszugehen. Man bezeichne der 
Kürze wegen durch (2) den Ueberschuss von æ über die nächste ganze 
Zahl, oder, wenn x zwischen zweien in der Mitte liegt und diese Be- 
stimmung zweideutig wird, den Mittelwerth aus den beiden Werthen 
3 und — 3, also die Null, ferner durch n eine ganze, durch p eine 
ungerade Zahl und bilde alsdann die Reihe 
Ga, Ae 
fij D E E e Ee 
so convergirt, wie leicht zu sehen, diese Reihe für jeden Werth von x; 
ihr Werth nähert sich, sowohl, wenn der Argumentwerth stetig abneh- 
mend, als wenn er stetig zunehmend gleich x wird, stets einem festen 
Grenzwerth, und zwar ist, wenn x — e (wo p, n relative Primzahlen) 
n 
fe+)=f@— Se OLEtaet, Ass fl 
(e ND et TN E. 
sonst aber überall f (æ + 0) — ro KE (æ — 0): = fe): 
Diese Function ist also für jeden rationalen Werth von æ, der in 
den kleinsten Zahlen ausgedrückt ein Bruch mit geradem Nenner ist, 
unstetig, also zwischen je zwei noch so engen Grenzen unendlich oft, 
so jedoch, dass die Zahl der Sprünge, welche grösser als eine gegebene 
Grösse sind, immer endlich ist. Sie lässt durchgehends eine Integration 
Mathematische Classe. XIII. 
