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zu. In der That genügen hiezu neben ihrer Endlichkeit die beiden 
Eigenschaften, dass sie für jeden Werth von æ beiderseits einen Grenz- 
werth f («+ 0) und f(x — 0) hat, und dass die Zahl der Sprünge, welche 
grösser oder gleich einer gegebenen Grösse o sind, stets endlich ist. 
Denn wenden wir unsere obige Untersuchung an, so lässt sich offenbar 
in Folge dieser beiden Umstände d stets so klein annehmen, dass in 
sämmtlichen Intervallen, welche diese Sprünge nicht enthalten, die Schwan- 
kungen kleiner als o sind, und dass die Gesammtgrösse der Intervalle, 
welche diese Sprünge enthalten, beliebig klein wird. 
© Es verdient bemerkt zu werden, dass die Functionen, welche nicht 
unendlich viele Maxima und Minima haben (zu welchen übrigens die 
eben betrachtete nicht gehört), wo sie nicht unendlich werden, stets 
diese beiden Eigenschaften besitzen und daher allenthalben, wo sie nicht 
unendlich werden, eine Integration zulassen, wie sich auch leicht direct 
zeigen lässt. 
Um jetzt den Fall, wo die zu integrirende Function f (x) für einen 
einzelnen Werth unendlich gross wird, näher in Betracht zu ziehen, 
nehmen wir an, dass dies für æ —= 0 stattfinde, so dass bei abnehmen- 
dem positiven x ihr Werth zuletzt über jede gegebene Grenze wächst. 
Es lässt sich dann leicht zeigen, dass æf (x) bei abnehmendem x 
von einer endlichen Grenze a an, nicht fortwährend grösser als eine end- 
liche Grösse e bleiben könne. Denn dann wäre FR 7 (æ) de > c F = 
1 1 
also grösser als c (log ige log >) , welche Grösse mit abnehmendem 
æ zuletzt in's Unendliche wächst. Es muss also æf (æ), wenn diese Func- 
tion nicht in der Nähe von æ =0 unendlich viele Maxima und Minima 
hat, nothwendig mit æ unendlich klein werden, damit f (x) einer Inte- 
f (æ) de (el 
g d ae). 
bei einem Werth von œ < 1 mit x unendlich klein wird, so ist klar, 
dass das Integral bei unendlichem Abnehmen der unteren Grenze con- 
gration fähig sein könne Wenn andererseits fe) # = 
