108 B. RIEMANN, 
Gegenstand genügen; wir ‚gehen jetzt an unsere eigentliche Aufgabe, 
eine allgemeine Untersuchung über die Darstellbarkeit einer Function 
durch eine trigonometrische Reihe. 
Untersuchung der Darstellbarkeit einer Function durch eine tri- 
gonometrische Reihe ohne besondere Voraussetzungen über die 
Natur der Function. 
T 
Die bisherigen Arbeiten über diesen Gegenstand hatten den Zweck, 
die Fouriersche Reihe für die in der Natur vorkommenden Fälle zu be- 
weisen; es konnte daher der. Beweis für eine ganz willkührlich ange- 
nommene Function begonnen, und später der Gang der Function behuf 
des Beweises willkührlichen Beschränkungen unterworfen werden, wenn 
sie nur jenen Zweck nicht beeinträchtigten. Für unsern Zweck darf 
derselbe nur den zur Darstellbarkeit der Function nothwendigen Bedin- 
gungen unterworfen werden; es müssen daher zunächst zur Darstellbar- 
keit nothwendige Bedingungen aufgesucht und aus diesen dann zur Dar- 
stellbarkeit hinreichende ausgewählt werden. Während also die bisheri- 
gen Arbeiten zeigten: wenn eine Function diese und jene Eigenschaften 
hat, so ist sie durch die Fouriersche Reihe darstellbar; müssen wir von 
der umgekehrten Frage ausgehen: Wenn eine Function durch eine 
trigonometrische Reihe darstellbar ist, was folgt daraus über ihren Gang, 
über die Aenderung ihres Werthes bei stetiger Aenderung des Arguments ? 
Demnach betrachten wir die Reihe 
a sin z + a, sin Ze +... 
4 bo + dı cos z -+ b, cos 2r +... 
oder, wenn wir der Kürze wegen 
Zb = Aa, a sin z + b; cos z = A, a, sin Ze LA. cos Ze = A 
setzen, die Reihe 
AE 
Ai tA Ee 
