122 B. RIEMANN, 
DT (t) cos u (t-— a) å (i dt, 
b 
wenn Å eine Function wie oben — Art. 9 — bezeichnet, mit wachsen- 
dem u zuletzt unendlich klein werden. Der Werth dieses Integrals 
setzt sich zusammen aus den beiden Bestandtheilen 
uu ee dt und uu re a)(i) dt, 
b 6 
wofern diese Ausdrücke einen Werth haben. Das Unendlichkleinwerden 
desselben wird daher bewirkt durch das Verhalten der Function F an 
zwei symmetrisch zu beiden Seiten von æ gelegenen Stellen. Es ist 
‚aber zu bemerken, dass hier Stellen vorkommen müssen, wo jeder Be- 
standtheil für sich nicht unendlich klein wird; denn sonst würden die 
Glieder der Reihe für jeden Argumentwerth zuletzt unendlich klein 
werden. Es müssen also dann die Beiträge der symmetrisch zu beiden 
Seiten von æ gelegenen Stellen einander aufheben, so dass ihre Summe 
für ein unendliches u unendlich klein wird. Hieraus folgt, dass die 
Reihe 2 nur für solche Werthe der Grösse r convergiren kann, zu 
welchen die Stellen, wo nicht uu JE F(x) cos u (x — a) å (x) dx für ein un- 
b 
endliches « unendlich klein wird, symmetrisch liegen. Offenbar kann 
daher nur dann, wenn die Anzahl dieser Stellen unendlich gross ist, 
die trigonometrische Reihe mit nicht in’s Unendliche abnehmenden Coef- 
ficienten für eine unendliche Anzahl von Argumentwerthen convergiren. 
2 vi tt 
Umgekehrt ist An = — nn - — A, 5 i 
gekehrt is nn 4 (G (t) — A, 5) cosa dt und wird also 
mit wachsendem n zuletzt unendlich klein, wenn uufG (t) cosu (t— a) å (t) dt 
b 
für ein unendliches u immer unendlich klein wird. 
H. Wenn die Glieder der Reihe 2 für den Argumentwerth & m- 
letzt unendlich klein werden, so hängt es nur von dem Gange der 
Function G (0 für ein unendlich kleines £ ab, ob die Reihe convergirt 
