ÜB.D. DARSTELLBARK. E. FUNCTION DURCH E. TRIGONOMETR. REIHE. 125 
Fis-Lei —2F(e) + Fee) 
[44 
IR 
SE — F (æ —t)) dt = 
0 
dann ebenfalls gegen L oder gegen 00 convergiren muss und daher nur 
unendlich klein werden kann, wenn F (æ+ t) — F’ («—1t) gegen Null 
convergirt. Es muss daher, wenn f (æ) für æ — a unendlich gross wird, 
doch immer f(a+!) + f (a— t) bis an t — 0 integrirt werden können. 
Dies reicht hin, damit (7 A a f eh )da (f (x) cos» (x —a)) mit abneh- 
mendem & convergire und mit wachsendem » unendlich klein werde. 
Weil ferner die Function F (x) endlich und stetig ist, so muss E (æ) 
bis an æ = a eine Integration zulassen und (x — a) F' (x) mit (x -a) 
unendlich klein werden, wenn diese Function nicht unendlich viele 
d (x — a) F' 
Maxima und Minima hat; woraus folgt, dass EE 4 (a) = (æ — a) f (x) 
-+ F' (x) und also auch (x—a) f (x) bis an æ = a integrirt werden kann. 
Es kann daher auch /f(x)sinn (æ — a) dx bis an x — a integrirt werden, 
und damit die Coefficienten der Reihe zuletzt unendlich klein werden, 
ist offenbar nur noch nöthig, dass IL (x) sinn (e—a) de, wo b < a< oe, 
mit wachsendem » zuletzt unendlich klein werde. Setzt man f(x) (x—a) 
= ọ (æ), so ist, wenn diese Function nicht unendlich viele Maxima und 
Minima hat, für ein unendliches n ` 
bos epla) . pl +0) +Yp(a—0) 
J f (æ) sin n (x — a) dx =J en a Mae eg rt 
wie Dirichlet gezeigt hat. Es muss daher ọ (a + + ọ (a — i) = 
f(a + t).t — f (a — t) t mit £ unendlich klein werden, und da f (a +4) 
+ fia— t) bis an t = 0 integrirt werden kann und folglich auch 
f(a+ i t + f(a—t)i mit t unendlich klein wird, so muss sowohl 
flat) t, als fa — t) é mit abnehmendem £ zuletzt unendlich klein 
werden. Von Functionen, welche unendlich viele Maxima und Minima 
haben, abgesehen, ist es also zur Darstellbarkeit der Function f (x) durch 
eine trigonometrische Reihe mit in’s Unendliche abnehmenden Coefficien- ` 
