Ms ae rd ER la Ee ae Ne Ba a Tea TE Fe BE a E ei 
kee er re N Ve a EE ` dea 
130 B. RIEMANN, 
Ein anderes Beispiel erhält man, wenn man in den Reihen 
S Cn COSNNT, È Cn SIN NNT 
0,% Lo 
für ca, Ei Cz, . . . positive Grössen setzt, welche immer abnehmen und 
zuletzt unendlich klein werden, während x cs mit n unendlich gross wird. 
‚n 
Denn wenn das Verhältniss von œ zu 27 rational und in den kleinsten 
Zahlen ausgedrückt, ein Bruch mit dem Nenner m ist, so werden offen- 
bar diese Reihen convergiren oder ins Unendliche wachsen, je nachdem 
Xcosmæ, X sinnn gleich Null oder nicht gleich Null sind. Beide 
0,m~1 0,m-1 
Fälle aber treten nach einem bekannten Theoreme der Kreistheilung !) 
zwischen je zwei noch so engen Grenzen für unendlich viele Werthe 
von & ein. 
In einem eben so grossen Umfange kann die Reihe 2 auch con- 
vergiren, ohne dass der Werth der Reihe 
dAn 
dr 
EE 
welche man durch Integration jedes Gliedes aus 2 erhält, durch ein 
noch so kleines Grössenintervall integrirt werden könnte. 
Wenn man z. B. den Ausdruck. 
Zu le) log (EN), 
S 1,0 
wo die Logarithmen so zu nehmen sind, dass sie für q = 0 verschwin- 
den, nach steigenden Potenzen von g entwickelt und darin g= e% setzt, 
so bildet der imaginäre Theil eine trigonometrische Reihe, welche zwei- 
mal nach x differentirt in jedem Grössenintervall unendlich oft conver- 
girt, während ihr erster Differentialquotient unendlich oft Null wird. 
In demselben Umfange, d. h. zwischen je zwei noch so nahen Ar- 
1) Disquis. ar. pag. 636 art. 356. 
