Ueber 
die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 
Von 
B. Riemann. 
Aus dem Nachlass.des Verfassers mitgetheilt durch R. Dedekind!'). 
Plan der Untersuchung. 
Bekanntlich setzt die Geometrie sowohl den Begriff des Raumes, als 
die ersten Grundbegriffe für die Constructionen im Raume als etwas 
Gegebenes voraus. Sie giebt von ihnen nur Nominaldefinitionen, wäh- 
rend die wesentlichen Bestimmungen in Form von Axiomen auftreten. 
Das Verhältniss dieser Voraussetzungen bleibt dabei im Dunkeln; man 
sieht weder ein, ob und in wie weit ihre Verbindung nothwendig, noch 
a priori, ob sie möglich ist. 
Diese Dunkelheit wurde auch von Euklid bis auf Legendre, 
um den berühmtesten neueren Bearbeiter der Geometrie zu nennen, 
weder von den Mathematikern, noch von den Philosophen, welche sich 
damit beschäftigten, gehoben. Es hatte dies seinen Grund wohl darin, 
dass der allgemeine Begriff mehrfach ausgedehnter Grössen, unter wel- 
chem die Raumgrössen enthalten sind, ganz unbearbeitet blieb. Ich 
habe mir daher zunächst die Aufgabe gestellt, den Begriff einer mehrfach 
ausgedehnten Grösse aus allgemeinen Grössenbegriffen zu construiren. 
Es wird daraus hervorgehen, dass eine mehrfach ausgedehnte Grösse ver- 
1) Diese Abhandlung ist am 10. Juni 1854 von dem Verfasser bei dem zum 
Zweck seiner Habilitation veranstalteten Colloquium mit der philosophischen Facultät 
zu Göttingen vorgelesen worden. Hieraus erklärt sich die Form der Darstellung, 
in welcher die analytischen Untersuchungen nur angedeutet werden konnten; in 
einem besondere: Aufsatze gedenke ich demnächst auf dieselben zurückzukommen. 
Braunschweig, im Juli 1867. R. Dedekind. 
