UEB. D. HYPOTHESEN, WELCHE DER GEOMETRIE ZU GRUNDE LIEGEN. 135 
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Grössenbegriffe sind nur da möglich, wo sich ein allgemeiner Begriff 
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vorfindet, der verschiedene Bestimmungsweisen zulässt. Je nachdem 
unter diesen Bestimmungsweisen von einer zu einer andern ein stetiger 
Uebergang stattfindet oder nicht, bilden sie eine stetige oder discrete 
Mannigfaltigkeit; die einzelnen Bestimmungsweisen heissen im erstern 
Falle Punkte, im letztern Elemente dieser Mannigfaltigkeit. Begriffe, 
deren Bestimmungsweisen eine discrete Mannigfaltigkeit bilden, sind so 
häufig, dass sich für beliebig gegebene Dinge wenigstens in den gebilde- 
teren Sprachen immer ein Begriff auffinden lässt, unter welchem sie ent- 
halten sind (und die Mathematiker konnten daher in der Lehre von den 
discreten Grössen unbedenklich von der Forderung ausgehen , gegebene 
Dinge als gleichartig zu betrachten), dagegen sind die Veranlassungen 
zur Bildung von Begriffen, deren Bestimmungsweisen eine stetige Man- 
nigfaltigkeit bilden, im gemeinen Leben so selten, dass die Orte der 
Sinnengegenstände und die Farben wohl die einzigen einfachen Begriffe 
sind, deren Bestimmungsweisen eine mehrfach ausgedehnte Mannigfaltig- 
keit bilden. Häufigere Veranlassung zur Ergeuzung und Ausbildung 
dieser Begriffe findet sich erst in der höhern Mathematik. 
Bestimmte, durch ein Merkmal oder eine Grenze unterschiedene 
Theile einer Mannigfaltigkeit heissen Quanta. Ihre Vergleichung der 
Quantität nach geschieht bei den disereten Grössen durch Zählung, bei 
den stetigen durch Messung. Das Messen besteht in einem Aufeinander- 
legen der zu vergleichenden Grössen; zum Messen wird also ein Mittel 
erfordert, die eine Grösse als Massstab für die andere fortzutragen. Fehlt 
dieses, so kann man zwei Grössen nur vergleichen, wenn die eine ein 
Theil der andern ist, und auch dann nur das Mehr oder Minder, nicht 
das Wieviel entscheiden. Die Untersuchungen, welche sich in diesem 
Falle über sie anstellen lassen, bilden einen allgemeinen von Massbe- 
stimmungen unabhängigen Theil der Grössenlehre, wo die Grössen nicht 
als unabhängig von der Lage existirend und nicht als durch eine Ein 
heit ausdrückbar, sondern als Gebiete in einer Mannigfaltigkeit betrachtet 
werden. Solche Untersuchungen sind für mehrere Theile der Mathematik, 
