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namentlich für die Behandlung der mehrwerthigen analytischen Functionen 
ein Bedürfniss geworden, und der Mangel derselben ist wohl eine Haupt- 
ursache, dass der berühmte A besche Satz und die Leistungen von La- 
grange, Pfaff, Jacobi für die allgemeine Theorie der Differentialglei- 
chungen so lange unfruchtbar geblieben sind. Für den gegenwärtigen 
Zweck genügt es, aus diesem allgemeinen Theile der Lehre von den aus- 
gedehnten Grössen, wo weiter nichts vorausgesetzt wird, als was in dem 
Begriffe derselben schon enthalten ist, zwei Punkte hervorzuheben, wovon 
der erste die Erzeugung des Begriffs einer mehrfach ausgedehnten Man- 
nigfaltigkeit, der zweite die Zurückführung der Ortsbestimmungen in einer 
gegebenen Mannigfaltigkeit auf Quantitätsbestimmungen betrifft und das 
wesentliche Kennzeichen einer nfachen Ausdehnung deutlich machen wird. 
8. 12. 
Geht man bei einem Begriffe, dessen Bestimmungsweisen eine ste- 
tige Mannigfaltigkeit bilden, von einer Bestimmungsweise auf eine be- 
stimmte Art zu einer andern über, so bilden die durchlaufenen Bestim- 
mungsweisen eine einfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, deren wesent- 
liches Kennzeichen ist, dass in ihr von einem Punkte nur nach zwei 
Seiten, vorwärts oder rückwärts, ein stetiger Fortgang möglich ist. Denkt 
man sich nun, dass diese Mannigfaltigkeit wieder in eine andere, völlig 
verschiedene, übergeht, und zwar wieder auf bestimmte Art, d. h. so, 
dass jeder Punkt in einen bestimmten Punkt der andern übergeht, so bil- 
den sämmtliche so erhaltene Bestimmungsweisen eine zweifach ausgedehnte 
Mannigfaltigkeit. In ähnlicher Weise erhält man eine dreifach ausge- 
dehnte Mannigfaltigkeit, wenn man sich vorstellt, dass eine zweifach aus- 
gedehnte in eine völlig verschiedene auf bestimmte Art übergeht, und es 
ist leicht zu sehen, wie man diese Construction fortsetzen kann. Wenn 
man, anstatt den Begriff als bestimmbar, seinen Gegenstand als verän- 
derlich betrachtet, so kann diese Construction bezeichnet werden als eine 
Zusammensetzung einer Veränderlichkeit von n -+ 1 Dimensionen aus 
einer Veränderlichkeit von » Dimensionen und aus einer Veränderlichkeit 
von einer Dimension. 
