ÜB. D. HYPOTHESEN, WELCHE DER GEOMETRIE ZU GRUNDE LIEGEN. 137 
SER, 
Ich werde nun zeigen, wie man umgekehrt eine Veränderlichkeit, 
deren Gebiet gegeben ist, in eine Veränderlichkeit von einer Dimension 
und eine Veränderlichkeit von weniger Dimensionen zerlegen kann. Zu 
diesem Ende denke man sich ein veränderliches Stück einer Mannigfal- 
tigkeit von einer Dimension — von einem festen Anfangspunkte an ge- 
rechnet, so dass die Werthe desselben unter einander vergleichbar sind — 
welches für jeden Punkt der gegebenen Mannigfaltigkeit einen bestimm- 
ten mit ihm stetig sich ändernden Werth hat, oder mit andern Worten, 
man nehme innerhalb der gegebenen Mannigfaltigkeit eine stetige Fun- 
ction des Orts an, und zwar eine solche Function, welche nicht längs 
eines 'Theils dieser Mannigfaltigkeit constant ist. Jedes System von 
Punkten, wo die Function einen constanten Werth hat, bildet dann eine 
stetige Mannigfaltigkeit von weniger Dimensionen, als die gegebene. 
Diese Mannigfaltigkeiten gehen bei Aenderung der Function stetig in 
einander über; man wird daher annehmen können, dass aus einer von 
ihnen die übrigen hervorgehen, und es wird dies, allgemein zu reden, 
so geschehen können, dass jeder Punkt in einen bestimmten Punkt der 
andern übergeht; die Ausnahmsfälle, deren Untersuchung wichtig ist, 
können hier unberücksichtigt bleiben. Hierdurch wird die Ortsbestim- 
mung in der gegebenen Mannigfaltigkeit zurückgeführt auf eine Grössen- 
bestimmung und auf eine Ortsbestimmung in einer minderfach ausge- 
dehnten Mannigfaltigkeit. Es ist nun leicht zu zeigen, dass diese Man- 
nigfaltigkeit n — 1 Dimensionen hat, wenn die gegebene Mannigfaltigkeit 
eine »fach ausgedehnte ist. Durch nmalige Wiederholung dieses Ver- 
fahrens wird daher die Ortsbestimmung in einer »fach ausgedehnten Man- 
nigfaltigkeit auf n Grössenbestimmungen, und also die Ortsbestimmung 
in einer gegebenen Mannigfaltigkeit, wenn dieses möglich ist, auf eine 
endliche Anzahl von Quantitätsbestimmungen zurückgeführt. Es giebt 
indess auch Mannigfaltigkeiten, in welchen die Ortsbestimmung nicht 
eine endliche Zahl, sondern entweder eine unendliche Reihe oder eine 
stetige Mannigfaltigkeit von Grössenbestimmungen erfordert. Solche Man- 
 nigfaltigkeiten bilden z. B. die möglichen Bestimmungen einer Function 
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