138 B. RIEMANN, 
für ein gegebenes Gebiet, die möglichen Gestalten einer räumlichen 
Figur u. s. w: 
LL Massverhältnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von 
n Dimensionen fähig ist, unter der Voraussetzung, dass die 
Linien unabhängig von der Lage eine Länge besitzen, also 
jede Linie durch jede messbar ist. 
Es folgt nun, nachdem der Begriff einer »fach ausgedehnten Man- 
nigfaltigkeit construirt und als wesentliches Kennzeichen derselben ge- 
funden worden ist, dass sich die Ortsbestimmung in derselben auf n Grö- 
ssenbestimmungen zurückführen lässt, als zweite der oben gestellten Auf- 
gaben eine Untersuchung über die Massverhältnisse, deren eine solche 
Mannigfaltigkeit fähig ist, und über die Bedingungen, welche zur Bestim- 
mung dieser Massverhältnisse hinreichen. Diese Massverhältnisse lassen 
sich nur in abstracten Grössenbegriffen untersuchen und im Zusammen- 
hange nur durch Formeln darstellen; unter gewissen Voraussetzungen 
kann man sie indess in Verhältnisse zerlegen, welche einzeln genommen 
einer geometrischen Darstellung fähig sind, und hiedurch wird es mög- 
lich, die Resultate der Rechnung geometrisch auszudrücken. Es wird 
daher, um festen Boden zu gewinnen, zwar eine abstracte Untersuchung 
in Formeln nicht zu vermeiden sein, die Resultate derselben aber werden 
sich dann im geometrischen Gewande darstellen lassen. Zu Beidem sind 
die Grundlagen enthalten in der berühmten Abhandlung des Herrn Ge- 
heimen Hofraths Gauss über die krummen Flächen. 
Si 
Massbestimmungen erfordern eine Unabhängigkeit der Grössen vom 
Ort, die in mehr als einer Weise stattfinden kann; die zuņächst sich 
darbietende Annahme, welche ich hier verfolgen will, ist wohl die, dass 
die Länge der Linien unabhängig von der Lage sei, also jede Linie durch 
jede messbar sei. Wird die Ortsbestimmung auf Grössenbestimmungen 
zurückgeführt, also die Lage eines Punktes in der gegebenen nfach aus- 
