ÜB. D. HYPOTHESEN, WELCHE DER GEOMETRIE ZU GRUNDE LIEGEN. 139 
gedehnten Mannigfaltigkeit durch » veränderliche Grössen 2. Ze dës, 
und so fort bis æ% ausgedrückt, so wird die Bestimmung einer Linie 
darauf hinauskommen, dass die Grössen x als Functionen einer Verän- 
derlichen gegeben werden. Die Aufgabe ist dann, für die Länge der 
Linien einen mathematischen Ausdruck aufzustellen, zu welchem Zwecke 
die Grössen v als in Einheiten ausdrückbar betrachtet werden müssen. 
Ich werde diese Aufgabe nur unter gewissen Beschränkungen behandeln 
und beschränke mich erstlich auf solche Linien, in welchen die Ver- 
‚hältnisse zwischen den Grössen de — den zusammengehörigen Aende- 
rungen der Grössen v — sich stetig ändern; man kann dann die Li- 
nien in Elemente zerlegt denken, innerhalb deren die Verhältnisse der 
Grössen de als constant betrachtet werden dürfen, und die Aufgabe 
kommt dann darauf zurück, für jeden Punkt einen allgemeinen Aus- 
druck des von ihm ausgehenden Linienelements ds aufzustellen, welcher 
also die Grössen « und die Grössen dr enthalten wird. Ich nehme nun 
zweitens an, dass die Länge des Linienelements, von Grössen zweiter 
Ordnung abgesehen, ungeändert bleibt, wenn sämmtliche Punkte dessel- 
ben dieselbe unendlich kleine Ortsänderung erleiden, worin zugleich 
enthalten ist, dass, wenn sämmtliche Grössen dr in demselben Verhält- 
nisse wachsen, das Linienelement sich ebenfalls in diesem Verhältnisse 
ändert. Unter diesen Annahmen wird das Linienelement eine beliebige 
homogene Function ersten Grades der Grössen dx sein können, welche 
ungeändert bleibt, wenn sämmtliche Grössen dr ihr Zeichen ändern, und 
worin die willkührlichen Constanten stetige Functionen der Grössen æ 
sind. Um die einfachsten Fälle zu finden, suche ich zunächst einen 
Ausdruck für die n—Ifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, welche vom 
Anfangspunkte des Linienelements überall gleich weit abstehen, d.h. 
ich suche eine stetige Function des Orts, welche sie von einander un- 
terscheidet. Diese wird vom Anfangspunkt aus nach allen Seiten ent- 
weder ab- oder zunehmen müssen; ich will annehmen, dass sie nach 
allen Seiten zunimmt und also in dem Punkte ein Minimum hat. Es 
muss dann, wenn ihre ersten und zweiten Differentialquotienten endlich 
sind, das Differential erster Ordnung verschwinden und das zweiter Ord- 
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