u - B. RIEMANN, 
nung darf nie negativ werden; ich nehme an, dass es immer positiv 
bleibt. Dieser Differentialausdruck zweiter Ordnung bleibt alsdann con- 
stant, wenn ds constant bleibt und wächst im quadratischen Verhält- 
nisse, wenn die Grössen de und also auch ds sich sämmtlich in demsel- 
ben Verhältnisse ändern; er ist also — const. ds? und folglich ist ds = 
der Quadratwurzel aus einer immer positiven ganzen homogenen Function 
zweiten Grades der Grössen de, in welcher die Coefficienten stetige 
Functionen der Grössen x sind. Für den Raum wird, wenn man die 
Lage der Punkte durch rechtwinklige Coordinaten ausdrückt, ds = Y(de)?; 
der Raum ist also unter diesem einfachsten Falle enthalten. Der nächst 
einfache Fall würde wohl die Mannigfaltigkeiten umfassen, in welchen 
sich das Linienelement durch die vierte Wurzel aus einem Differential- 
ausdrucke vierten Grades ausdrücken lässt. Die Untersuchung dieser 
allgemeinern Gattung würde zwar keine wesentlich andere Principien er- 
fordern, aber ziemlich zeitraubend sein und verhältnissmässig auf die 
Lehre vom Raume wenig neues Licht werfen, zumal da sich die Resul- 
tate nicht geometrisch ausdrücken lassen; ich beschränke mich daher 
auf die Mannigfaltigkeiten, wo das Linienelement durch die Quadrat- 
wurzel aus einem Differentialausdruck zweiten Grades ausgedrückt wird. 
Man kann einen solchen Ausdruck in einen andern ähnlichen transfor- 
miren, indem man für die » unabhängigen Veränderlichen Functionen 
von n neuen unabhängigen Veränderlichen setzt. Auf diesem Wege 
wird man aber nicht jeden Ausdruck in jeden transformiren können; 
denn der Ausdruck enthält a ” 
3 ` Coefficienten, welche willkührliche 
Functionen der unabhängigen Veränderlichen sind; durch Einführung 
neuer Veränderlicher wird man aber nur » Relationen genügen und also 
nur » der Üoefficienten gegebenen Grössen gleich machen können. Es 
sind dann die übrigen » S 3 durch die Natur der darzustellenden Man- 
nigfaltigkeit schon völlig bestimmt, und zur Bestimmung ihrer Mass- 
Functionen des Orts erforderlich. Die Mannig- 
verhältnisse also z 
