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ÜB. D. HYPOTHESEN, WELCHE DER GEOMETRIE ZU GRUNDE LIEGEN. 141 
faltigkeiten, in welchen sich, wie in der Ebene und im Raume, das Li- 
nienelement auf die Form YIdz? bringen lässt, bilden daher nur einen 
besondern Fall der hier zu untersuchenden Mannigfaltigkeiten; sie ver- 
dienen wohl einen besondern Namen, und ich will also diese Mannig- ` 
faltigkeiten, in welchen sich das Quadrat des Linienelements auf die 
Summe der Quadrate von vollständigen Differentialien bringen lässt, eben 
nennen. Um nun die wesentlichen Verschiedenheiten sämmtlicher in 
der vorausgesetzten Form darstellbarer Mannigfaltigkeiten übersehen zu 
können, ist es nöthig, die von der Darstellungsweise herrührenden zu 
beseitigen, was durch Wahl der veränderlichen Grössen nach einem be- 
stimmten Princip erreicht wird. 
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Zu diesem Ende denke man sich von einem beliebigen Punkte aus 
das System der von ihm ausgehenden kürzesten Linien construirt; die 
Lage eines unbestimmten Punktes wird dann bestimmt werden können 
durch die Anfangsrichtung der kürzesten Linie, in welcher er liegt, und 
durch seine Entfernung in derselben vom Anfangspunkte und kann daher 
durch die Verhältnisse det der Grössen dr in dieser kürzesten Linie und 
durch die Länge s dieser Linie ausgedrückt werden. Man führe nun 
statt dat! solche aus ihnen gebildete lineäre Ausdrücke de ein, dass der 
Anfangswerth des Quadrats des Linienelements gleich der Summe der 
Quadrate dieser Ausdrücke wird, so dass die unabhängigen Variabeln 
sind: die Grösse s und die Verhältnisse der Grössen de; und setze 
schliesslich statt dæ solche ihnen proportionale Grössen #1, Lo, - . -, Lm 
dass die Quadratsumme — s? wird. Führt man diese Grössen ein, so 
wird für unendlich kleine Werthe von x das Quadrat des Linienelements 
= dE, das Glied der nächsten Ordnung in demselben aber gleich 
einem homogenen Ausdruck zweiten Grades der a " = à Grössen 
Lë dzz —&æz day), (zı dr dzı), ..., also eine unendlich kleine Grösse 
von der vierten Dimension, so dass man eine endliche Grösse erhält, wenn 
man sie durch das Quadrat des unendlich kleinen Dreiecks dividirt, in 
