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dessen Eckpunkten die Werthe der Veränderlichen sind (0, 0, o, ...), 
(æi, Z2, 83, ...), (dar, dag, das, ... .). Diese Grösse behält denselben 
Werth, so lange die Grössen x und dr in denselben binären Linearfor- 
men enthalten sind oder so lange die beiden kürzesten Linien von den 
Werthen o bis zu den Werthen x und von den Werthen o bis zu den 
Werthen dr in demselben Flächenelement bleiben, und hängt also nur 
von Ort und Richtung desselben ab. Sie wird offenbar —= o, wenn die 
dargestellte Mannigfaltigkeit eben, d. h. das Quadrat des Linienelements 
auf X dx? reducirbar ist, und kann daher als das Mass der in diesem 
Punkte in dieser Flächenrichtung stattfindenden Abweichung der Man- 
nigfaltigkeit von der Ebenheit angesehen werden. Multiplieirt mit — & 
wird sie der Grösse gleich, welche Herr Geheimer Hofrath Gauss de 
Krümmungsmass einer Fläche genannt hat. Zur Bestimmung der Mass- 
verhältnisse einer nfach ausgedehnten in der vorausgesetzten Form dar- 
| ES ; n— i Ä 
stellbaren Mannigfaltigkeit wurden vorhin n = Functionen des Orts 
nöthig gefunden; wenn also das Krümmungsmass in jedem Punkte in 
n EEN 
n Flächenrichtungen gegeben wird, so werden daraus die -Mass- 
verhältnisse der Mannigfaltigkeit sich bestimmen lassen, wofern nur zwi- 
schen diesen Werthen keine identischen Relationen stattfinden, was in 
der That, allgemein zu reden, nicht der Fall ist. Die Massverhältnisse 
dieser Mannigfaltigkeiten, wo das Linienelement durch die Quadratwurzel 
aus einem Differentialausdruck zweiten Grades dargestellt wird, lassen 
sich so auf eine von der Wahl der veränderlichen Grössen völlig unab- 
hängige Weise ausdrücken. Ein ganz ähnlicher Weg lässt sich zu die- 
sem Ziele auch bei den Mannigfaltigkeiten einschlagen, in welchen das 
Linienelement durch einen weniger einfachen Ausdruck, z. B. durch die 
vierte Wurzel aus einem Differentialausdruck vierten Grades, ausgedrückt 
wird. Es würde sich dann das Linienelement, allgemein zu reden, nicht 
mehr auf die Form der Quadratwurzel aus einer Quadratsumme von 
Differentialausdrücken bringen lassen und also in dem Ausdrucke für das 
u des ‚Linienelements die | von der Ebenheit eine un- 
