ÜB. D. HYPOTHESEN, WELCHE DER GEOMETRIE ZU GRUNDE LIEGEN. 143 
endlich kleine Grösse von der zweiten Dimension sein, während sie bei jenen 
Mannigfaltigkeiten eine unendlich kleine Grösse von der vierten Dimension 
war. Diese Eigenthümlichkeit der letztern Mannigfaltigkeiten kann daher 
wohl Ebenheit in den kleinsten Theilen genannt werden. Die für den jetzi- 
gen Zweck wichtigste Eigenthümlichkeit dieser Mannigfaltigkeiten, derent- 
wegen sie hier allein untersucht worden sind, ist aber die, dass sich die 
- Verhältnisse der zweifach ausgedehnten geometrisch durch Flächen darstel- 
len und die der mehrfach ausgedehnten auf die der in ihnen enthaltenen 
Flächen zurückführen lassen, was jetzt noch einer kurzen Erörterung bedarf. 
S. A 
In die Auffassung der Flächen mischt sich neben den inneren Mass- 
verhältnissen, bei welchen nur die Länge der Wege in ihnen in Betracht 
kommt, immer auch ihre Lage zu ausser jhnen gelegenen Punkten. Man 
kann aber von den äussern Verhältnissen abstrahiren, indem man solche 
Veränderungen mit ihnen vornimmt, bei denen die Länge der Linien in 
ihnen ungeändert bleibt, d. h. sie sich beliebig — ohne Dehnung — ge- 
bogen denkt, und alle so auseinander entstehenden Flächen als gleich- 
artig betrachtet. Es gelten also z. B. beliebige cylindrische oder coni- 
sche Flächen einer Ebene gleich, weil sie sich durch blosse Biegung aus 
ihr bilden lassen, wobei die innern Massverhältnisse bleiben, und sämmt- 
liche Sätze über dieselben — also die ganze Planimetrie — ihre Gültig- 
keit behalten; dagegen gelten sie als wesentlich verschieden von der Ku- 
gel, welche sich nicht ohne Dehnung in eine Ebene verwandeln lässt. 
Nach der vorigen Untersuchung werden in jedem Punkte die innern 
Massverhältnisse einer zweifach ausgedehnten Grösse, wenn sich das Li- 
nienelement durch die Quadratwurzel aus einem Differentialausdruck 
zweiten Grades ausdrücken lässt, wie dies bei den Flächen der Fall ist, 
charakterisirt durch das Krümmungsmass. Dieser Grösse lässt sich nun 
bei den Flächen die anschauliche Bedeutung geben, dass sie das Product 
aus den beiden Krümmungen der Fläche in diesem Punkte ist, oder auch, 
dass das Product derselben in ein unendlich kleines aus kürzesten Linien 
gebildetes Dreieck gleich ist dem halben Ueberschusse seiner Winkel- 
