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summe über zwei Rechte in Theilen des Halbmessers. Die erste Defini- 
tion würde den Satz voraussetzen, dass das Product der beiden Krüm- 
mungshalbmesser bei der blossen Biegung einer Fläche ungeändert bleibt. 
die zweite, dass an demselben Orte der Ueberschuss der Winkelsumme 
‚eines unendlich kleinen Dreiecks über zwei Rechte seinem Inhalte pro- 
portional ist. Um dem Krümmungsmass einer „fach ausgedehnten Man- 
nigfaltigkeit in einem gegebenen Punkte und einer gegebenen durch ihn 
gelegten Flächenrichtung eine greifbare Bedeutung zu geben, muss man 
davon ausgehen; dass eine von einem Punkte ausgehende kürzeste Linie 
völlig bestimmt ist, wenn ihre Anfangsrichtung gegeben ist. Hienach 
wird man eine bestimmte Fläche erhalten, wenn man sämmtliche von dem 
gegebenen Punkte ausgehenden und in dem gegebenen Flächenelement 
liegenden Anfangsrichtungen zu kürzesten Linien verlängert, und diese 
Fläche hat in dem gegebenen Punkte ein bestimmtes Krümmungsmass, 
welches zugleich das Krümmungsmass der nfach ausgedehnten Mannig- 
faltigkeit in dem gegebenen Punkte und der gegebenen Flächenrich- 
tung ist. 
. 4. u 
Es sind nun noch, ehe die Anwendung auf den Raum gemacht 
wird, einige Betrachtungen über die ebenen Mannigfaltigkeiten im All- 
gemeinen nöthig, d. h. über diejenigen, in welchen das Quadrat des Li- 
nienelements durch eine Quadratsumme vollständiger Differentialien dar- 
stellbar ist. 
In einer ebenen nfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit ist das Krüm- 
mungsmass in jedem Punkte in jeder Richtung Null; es reicht aber nach 
der frühern Untersuchung, um die Massverhältnisse zu bestimmen, hin 
n— 1 
2 
Krümmungsmasse von einander unabhängig sind, Null sei. Die Mannig- 
faltigkeiten, deren Krümmungsmass überall — o ist, lassen sich .betrach- 
ten als ein besonderer Fall derjenigen Mannigfaltigkeiten, deren Krüm- 
mungsmass allenthalben constant ist. Der gemeinsame Charakter dieser 
Mannigfaltigkeiten, deren Krüämmungsmass constant ist, kann auch so 
zu wissen, dass es in jedem Punkte in n Flächenrichtungen, deren 
