ÜB. D. HYPOTHESEN, WELCHE DER GEOMETRIE ZU GRUNDE LIEGEN. 145 
ausgedrückt werden, dass sich die Figuren in ihnen ohne Dehnung be- 
wegen lassen. Denn offenbar würden die Figuren in ihnen nicht belie- 
big verschiebbar und drehbar sein können, wenn nicht in jedem Punkte 
in allen Richtungen das Krümmungsmass dasselbe wäre. Andererseits 
aber sind durch das Krümmungsmass die Massverhältnisse der Mannig- 
faltigkeit vollständig bestimmt; es sind daher um einen Punkt nach allen 
Richtungen die Massverhältnisse genau dieselben, wie um einen andern, 
und also von ihm aus dieselben Constructionen ausführbar, und folglich 
kann in den Mannigfaltigkeiten mit constantem Krümmungsmass den Fi- 
guren jede beliebige Lage gegeben werden. Die Massverhältnisse dieser 
Mannigfaltigkeiten hängen nur von dem Werthe des Krümmungsmasses 
ab, und in Bezug auf die analytische Darstellung mag bemerkt werden, 
dass, wenn man diesen Werth durch e bezeichnet, dem Ausdruck für 
das Linienelement die Form 
ern 
ee 
gegeben werden kann. 
$. 5. 
Zur geometrischen Erläuterung kann die Betrachtung der Flächen 
mit constantem Krümmungsmass dienen. Es ist leicht zu sehen, dass sich 
die Flächen, deren Krümmungsmass positiv ist, immer auf eine Kugel, 
deren Radius gleich 1 dividirt durch die Wurzel aus dem Krümmungs- 
mass ist, wickeln lassen werden; um aber die ganze Mannigfaltigkeit 
dieser Flächen zu übersehen, gebe man einer derselben die Gestalt einer 
Kugel und den übrigen die Gestalt von Umdrehungsflächen, welche sie 
im Aequator berühren. Die Flächen mit grösserem Krümmungsmass, 
als diese Kugel, werden dann die Kugel von innen berühren und eine 
Gestalt annehmen, wie der äussere der Axe abgewandte Theil der Ober- 
fläche eines Ringes; sie würden sich auf Zonen von Kugeln mit kleine- 
rem Halbmesser wickeln lassen, aber mehr als einmal herumreichen. 
Die Flächen mit kleinerem positiven Krämmungsmass wird man erhalten, 
Mathem. Classe. XIII. 
