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wenn man aus Kugelflächen mit grösserem Radius ein von zwei grössten 
Halbkreisen begrenztes Stück ausschneidet und die Schnittlinien zusam- 
menfügt. Die Fläche mit dem Krümmungsmass Null wird eine auf dem 
zanter stehende Cylinderfläche sein; die Flächen mit negativem Krüm- 
mungsmass aber werden diesen Cylinder von aussen berühren und wie 
der innere der Axe zugewandte Theil der Oberfläche eines Ringes ge- 
formt sein. Denkt man sich diese Flächen als Ort für in ihnen beweg- 
liche Flächenstücke, wie den Raum als Ort für Körper, so sind in allen 
diesen Flächen die Flächenstücke ohne Dehnung beweglich. Die Flächen 
mit positivem Krümmungsmass lassen sich stets so formen, dass die Flä- 
chenstücke auch ohne Biegung beliebig bewegt werden können, nämlich 
zu Kugelflächen, die mit negativem aber nicht. Ausser dieser Unabhän- 
gigkeit der Flächenstücke vom Ort findet bei der Fläche mit dem Krüm- 
mungsmass Null auch eine Unabhängigkeit der Richtung vom Ort statt, 
welche bei den übrigen Flächen nicht stattfindet. 
HI. Anwendung auf den Raum. 
KE 
Nach diesen Untersuchungen über die Bestimmung der Massverhält- 
nisse einer rfach ausgedehnten Grösse lassen sich nun die Bedingungen 
angeben, welche zur Bestimmung der Massverhältnisse des Raumes hin- 
reichend und nothwendig sind, wenn Unabhängigkeit der Linien von der 
Lage und Darstellbarkeit des Linienelements durch die Quadratwurzel 
aus einem Differentialausdrucke zweiten Grades, also Ebenheit in den 
kleinsten Theilen vorausgesetzt wird. 
Sie lassen sich erstens so ausdrücken, dass das Krümmungsmass in 
jedem Punkte in drei Flächenrichtungen = 0 ist, und es sind daher die 
Massverhältnisse des Raumes bestimmt, wenn die Winkelsumme im Dreieck 
allenthalben gleich zwei Rechten ist. 
Setzt man aber zweitens, wie Euklid, nicht bloss eine von der Lage 
unabhängige Existenz der Linien, sondern auch der Körper voraus, so 
