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willkürlich herausgreifen, sondern müssen einen Kompromiss machen 

 und einen Wert aussuchen, der irgendeiner (eventuell mehreren) von 

 uns willkürlich festgelegten Bedingung genügt. 



Bezeichnen wir die Differenz zwischen irgendeinem Messresultat Xj^. 

 und dem wahren Wert x der Länge als Abweichung vom wahrem 

 Wert und definieren 



so sind die Abweichungen A x^, sofern es sich mii zufällige Fehler 

 handelt, ungefähr gleich oft positiv und negativ. Man erhält also 

 offenbar einen gut passenden Wert für die unbekannte Grösse x, wenn 

 wir sie so definieren, dass die (algebraische) Summe der Abweichungen 

 gleich Null wird. 



Der also definierte Wert ist das arithmetische Mittel, das ja all- 

 gemein als repräsentativer Wert für eine Gruppe von empirisch ge- 

 wonnenen Werten angesehen wird. Es genügt aber ausserdem noch 

 einer anderen Bedingung, die uns zum Prinzip des mittleren Fehlers 

 führen wird. 



Bei der einfachen Addition der Abweichiuigen heben sich selbst- 

 verständlich gleich grosse positive und negative Abweichungen gegen- 

 seitig auf, gleichgültig, ob die Abweichungen klein oder gross sind. 

 Es ist aber nun doch sehr wünschenswert, noch ein Mass für den 

 Fehler des Resultates zu haben, was sieh dadurch erreichen lässt, 

 dass man die Summe der absoluten Werte der Abweichungen 

 durch deren Anzahl dividiert, womit man zum durchschnittlichen 

 Fehler (d. F.) kommt. Ober aber, man quadriert sämtliche Ab- 

 weichungen, dividiert ihre Summe durch die Anzahl der Beobach- 

 tungen und zieht die Quadratwurzel aus, was den mittleren Fehler 

 (m. F.) gibt, der für wissenschaftliche Zwecke fast ausschliesslich in 

 Betracht kommt. 



Wählt man als Wert für die unbekannte Grösse denjenigen, für 

 den der m. F. ein Minimum wird, so kommt man ebenfalls auf das 

 arithmetische Mittel. Das arithmetische Mittel ersetzt nun den ,, wahren 

 Wert" der gesuchten Grösse, wobei es gleichgültig ist, ob ein solcher 

 Wert existiert oder nicht, da er ja doch nicht gefunden werden kann, 

 sondern lediglich als Rechnungsgrundlage dient. Die Substitution des 

 arithmetischen Mittels an Stelle des wahren Wertes hat dann aller- 

 dings, wie die Theorie lehrt, gewisse Änderungen in den Formeln zur 

 Folge. So muss zur Berechnung des m. F. bei n Beobachtungen die 

 Summe der Quadrate der Abweichungen vom Mittel statt durch n, 

 wie wir oben annahmen, durch (n — 1) dividiert werden. Bei einer 

 kleinen Anzahl von Beobachtiuigen kann dadurch eine merkliche 

 Differenz entstehen, bei grösseren Beobachtungszahlen jedoch braucht 

 auf diesen Unterschied keine Rücksicht genommen zu werden. Der 



