Der Logos des Vererbungsvorgangs. 



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Die Zahl der möglichen Fälle aber ist, indem 2 m Personen auf 



/ 2 77t\ 



m Plätze verteilt werden, gleich 



m 



Für die Wahrscheinlichkeit W 

 des Ereignisses E' gilt also bei der zweiten Aufgabe die Formel 



2 m 2 m (m !) 2 



W' = 



2 m 



m 



(2 m) 



Für die Vererbungslehre haben nun große Werte von m Wichtig- 

 keit. Für solche Werte gilt die sogenannte Stirlingsche Näherungsformel 



m! 



~ßn 



mm m e~ 



in der n = 3,141593 und e = 2,718282 die beiden Fundamentalkon- 

 stanten der Analysis bedeuten. Diese Formel ist um so genauer, 

 je größer m wird. Für große Werte von m gelten hiernach die folgenden 

 reduzierten Näherungswerte für die erste Aufgabe: 



für die zweite Aufgabe: 



W 



W 



fn 



m 



^22" 



i 



nm 



Die Wahrscheinlichkeiten W in den beiden Aufgaben nähern sich 

 also mit wachsenden Werten der für beide gleichen Zahl m dem Ver- 

 hältnisse 1 : /2~. 



Für die niedrigsten Zahlen stellen wir die strengen Werte sogleich 

 der Wahrscheinlichkeiten W des Ereignisses E, also des Vorkommens 

 mindestens eines Ehepaares in der Kombination in der folgenden Tabelle 

 zusammen : 



Füi 



: die erste Aufgabe 







m 



W 



m 





2 



7 2 = 0,5 000 000 



1 







4 



5 / 6 = 0,8 333 333 



2 



V: 



6 



19 / 20 =0,9 500 000 



3 



7. 



8 



6 7to =0,9 857 143 



4 



2 7; 



10 



25 7 252 = 0,9 960 317 



5 



55/ 



12 



92 7 9 o 4 = 0,9 989 177 



6 



215/ 



As 



Für die zweite Aufgrabe 



W m 



0,0 000 000 7 



0,3 333 333 8 



0,6 000 000 9 



0,7 714 286 10 



0,8 730159 11 



0,9 307 359 12 



Die Näherungsformel ergibt für m = 12 für die erste Aufgabe den 

 Wert W = 0,9 989 400, für die zweite Aufgabe den Wert W = 0,9 985 010 ; 

 für noch größere Werte von m geben die Näherungsformeln mindestens 

 fünf Dezimalen richtig. 



'429 



/6 435 



/l 2 155 



/46 189 



/88 179 



./ 



/676 039 



w 



= 0,9 627 040 

 = 0,9 801 088 

 = 0,9 894 694 

 = 0,9 944 576 

 = 0,9 970 968 

 0,9 984 853 



Pflügers Archiv f. d. ges. Physiol. Bd. 188. 



