274 L. Hermann: 



fach zu weit gehende und daher unrichtige Vorstellungen aufkommen 

 lassen, namentlich bei Physikern, denen die engen Grenzen unseres 

 biologischen Erkennens nicht so wie den Physiologen täglich zum 

 Bewusstsein kommen. 



Ich bin durchaus kein prinzipieller Gegner der Sc haef er' sehen 

 Auffassung. Im Gegenteil habe ich schon 1894 darauf hingewiesen x ), 

 dass die Unterbrechungstöne unverkennbar mit den Differenztönen 

 innerlich sehr verwandt sind, wenigstens für den Fall, dass man den 

 Unterbrechungsvorgang durch den Ausdruck sin pt sin qt darstellen 

 kann, also durch die beiden Variationstöne cos (p — q) t und cos (p + q)t. 

 Ich habe damals daran erinnert, dass der Zusammenklang zweier 

 Primärtöne durch ein Produkt zweier Sinus- oder Kosinusfunktionen 

 dargestellt werden kann, gewissermassen die Umkehrung des für die 

 Unterbrechungserscheinungen verwendeten trigonometrischen Satzes, 

 nach den bekannten Formeln 



j. ij. n • Ü a j. • & + a j. 



cos at — cos ot = 2 sin — ~ — t sin — = — t, 

 oder 2 sin pt sin qt = cos(jp — q)t — cos(p + #)#, 



resp. deren Analoga für die übrigen denkbaren Fälle von Produkten 

 und Summen von cos- und sin- Funktionen. Man kann also folgende 

 zwei Sätze aufstellen: 1. der Zusammenklang zweier einfacher Töne 

 (Primärtöne) ist mathematisch identisch mit einer Amplituden- 

 schwankung ihres Mitteltones 2 ), dergestalt, dass so viel Maxima der 

 Amplitude erfolgen, wie die Differenz der beiden Schwingungszahlen 

 beträgt (Schwebung, Differenzton). 2. Jede derartige Amplituden- 

 schwankung eines Tones ist umgekehrt identisch mit dem Zusammen- 

 klang zweier Variationstöne, deren Schwebungs- resp. Differenz- 

 tonfrequenz die halbe Anzahl der Maxima ist. Diese Analogisierung 

 der Unterbrechungs- und Differenztöne oder der Variationstöne mit 

 den Primärtönen ergibt freilich die Oktave des Unterbrechungstons : 

 dies ist aber ein Umstand, der bekanntlich durch das Hinzukommen 

 des unterbrochenen Tones selbst beseitigt wird; dies hängt damit 



1) Dies Archiv Bd. 56 S. 485. 1894. 



2) Als Mittelton habe ich in der angeführten Arbeit das arithmetische 

 Mittel der beiden Primärschwingungszahlen bezeichnet. Die Frage der Hörbar- 

 keit eines Mitteltons, die ich damals zweifelhaft gelassen babe, tut hier nichts 

 zur Sache. Offenbar entspricht der Mittelton unserem Hauptton, der dann das 

 arithmetische Mittel der beiden Variationstöne ist Va (jp — q + p + q) = p. 



