Indledning. 



JN ærværende Afhandling er fremkaldt ved den af Videnskabernes Selskab 1884 stillede og 

 1886 gjentagne Prisopgave, og indleveret som Besvarelse af denne 1887. Denne Besvarelse 

 var imidlertid paa Grnnd af en i sidste Afsnit indløbet Fejl nfuldstændig , og det blev 

 nødvendigt at omarbejde hele dette Afsnit. Ved nøjere Gjennemsyn fandt jeg imidlertid, 

 at heller ikke de første Afsnit tilfredsstillede mig, saa at, nagtet Videnskabernes Selskab 

 havde tilstedet mig Optagelsen af disse i sine Skrifter, disse nu ogsaa bleve fuldstændigt 

 omarbejdede, og det hele Arbejde saaledes fremtræder i en ny Skikkelse. Imidlertid har 

 jeg søgt at bevare saa meget som muligt af det oprindelige Arbejde. 



Det havde været min Hensigt at fremstille alle endelige Transformations - Grupper 

 for Planet og for Rummet. 



Det er imidlertid ikke lykkedes mig at naa videre end til en, som jeg haaber, 

 fuldstændig Fremstilling af alle de endelige Transformations - Grupper for Planet. De 

 samme Principper, som her ere anvendte for at fremstille alle de Grupper, der ere endelige 

 for Planet, raaatte ogsaa kunne anvendes for Rummet. Imidlertid er Theorien, trods sin 

 Simpelhed i Princippet , saa vanskelig at anvende selv for Planets Vedkommende , at jeg 

 antager, det næsten vil være uoverkommeligt at anvende den paa Rummet, hvor der for 

 øvrigt vilde komme nye Vanskeligheder til, der endnu ikke optræde ved Bestemmelsen af 

 Grupperne for den rette Linie eller Planet. 



Foruden at bestemme de endelige Grupper for Linien og Planet, har jeg givet en 

 Fremstilling af den almindelige Form en Transformation maa have, naar den hører til en 

 endelig eller diskontinuert Gruppe og transformerer en ?i-dobbelt-M Punktmængde til sig selv. 



De endelige Gruppers Theori er for den rette Linies Vedkommende for lang Tid 

 siden givet af Klein, men, saa vidt jeg ved, aldrig før fremstillet, uden at være støttet 

 paa rumgeometriske Betragtninger. I denne Afhandling fremstilles den i Fuldstændighed 

 alene støttet paa algebraiske Betragtninger. 



