68 



IliiTL'i' (1er til en CiiMi[)|ie en 'rniiisfonnation /l, og er B eu vilk;iaiiif: 'l'ran:<roriiialion 

 i (jiLippeu, ug (laniies alle Translormatiunenie L)AB~\ idet for B eflcrliaaiicieii sa'lte.s aile de 

 til (îriippen horeude Traasformationer, kalder jeg alle de saaledes fremkuinne Transformationer 

 lur (len til A horende Samling. 



Er A en Transformation, der ved at gjentages n Gange bliver identisk, kalder jeg 

 den af id^ Urdeu, og alle de Transformationer der hore til samme Samling som A blive 

 da af samme Orden. For den rette Linie gjælder folgende : 



Enhver Transformation lader 2 Punkter af den rette Linie uforandrede, disse kaldes 

 Transformationens Dobbeltpunkter. Er der ingen Transformation af hojere end yi^<^ Orden, 



der har samme Doppeltpunkter som ^4, vil den Samlina. der horer til A. iudeholde — 



n 



Transformationer, naar h > 2 og uruppen i det bele indeholder N Transformationer. 



Eftersom der saa gives eller ikke gives en anden Transformation i (Iruppen. som 

 ombytter ^'s Dobbeltpunkter, ville alle de Samlinger, der tilhore A og dens Potenser 



, , («— 1)A' „ («— l)iV 



udgiore — ^z eller Iransformationer. 



2 w n 



For at linde alle de endelige Grupper, hvis Transformationer transformere en ret 

 Linie til sig selv, behover man da kun at finde de positive hele Tal, som tilfredsstille 

 Ligningen 



eller 





1= l_(i;!^4-^'ij-ll\ 



A' \ n ■ 2wi I ' 



der fremkomme ved den Betragtning, at Gruppen foruden de Samlinger, der hore til den, 

 endnu indeholder (in Transformation: den identiske. 



Det bemærkes dog, at ikke alle Tal, der tilfredsstille demie Ligning, give virkeligt 

 existerende Grupper. 



Man ser, at Antallet af Transformali ouer i Grupper enten niaa v;ere 

 det mindste fælles delelige Tal for Ordenen af de i Gruppen indgaaende 

 Transformationer eller dette Tal multipliceret med 2. 



Hvad Planen angaar, kunne her lignende Betragtninger anstilles som for den rette 

 Linie, kun blive Forholdene her langt mere komplicerede, navnlig paa Grund af, at der 

 kan optræde perspektiviske Transformationer. 



Medens nemlig i Almindelighed enhver lineær Transformation , der transformerer 

 Planen til sig selv, lader 3 Punkter af Planet (Transformationens Dobbeltpuukteri blive 

 uforandrede, existerer der Transformationer, der lade alle Punkter af en ret Linie uforandrede. 

 Det er saadanne Transformationer, som kaldes perspektiviske. 



