69 



J)e nye Vanskeligheder opstaa nu ved , at medens i Almindelighed Potenser af 

 Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter atter ere forskjellige, kan den samme 

 perspektiviske Transi'ormation være en Potens af flere Transformationer med forskjellige 

 Dobbeltpunkter. Det vises nu først, at alle Transformatiener, der fremkomme i en endelig 

 Oruppe, kunne bringes paa en saadan Form, at, hvis 



Ip.x' ^ a.^x-\rh^y-\- c^z 

 ny' = a^æ + h^y-\-c^z 

 fiz' = «3« 4- 63^ + ^32 

 er en saadan Transformation, Transformationsdeterminanten 



«1 6j Cj 

 a„ h„ c„ 



D 



1, 



og at i denne Determinant etlivert Element (a,) er konjugeret med sin Underdeterminant 

 (^i), saa at altsaa a^ ^ A^. 



Ved en cyklisk Gruppe forstaas en Gruppe, hvis Transformationer alle enten lade 

 Dobbeltpunkterne for en bestemt Transformation uforandrede eller ombytter disse indbyrdes. 



Det vises da, at hvis en endelig Gruppe for en Plan ikke skal være cyklisk eller 

 saaledes beskaffen , at alle Transformationer i Gruppen transformere samme rette Linie til 

 sig selv, kan Gruppen ikke indeholde perspektiviske Transformationer af højere end 2den 

 Orden. (Enhver Transformation af 2den Orden er altid perspektivisk.) 



Dernæst undersøges, hvor vidt Gruppen kan indeholde en perspektivisk Trans- 

 formation, som er en Potens af flere Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter. 



Det viser sig da, at der muligvis existerer en Gruppe paa 72 Trans- 

 formationer, indeholdende Transformationer af 2denj 3die og 4de Orden, 

 hvor Transformationerne af 4de Orden 6 og 6 have en fælles 2den Potens. 

 Denne Gruppe vises siden virkeligt at existere. 



Idet vi derpaa definere en Samling hørende til en Transformation A paa samme 

 Maade som før, viser det sig, at de Samlinger som høre til alle de Transformationer, som 

 have fælles Dobbeltpunkter med A, indeholde 



n — 1 ,, n — 1 ,, n — 1 -, 

 n 2n 3 M 



Transformationer, naar der er n Transformationer, der have fælles Dobbeltpunkter, og naar 

 ikke 2 Transformationer med forskjellige Dobbeltpunkter have en fælles Potens, idet A' er 

 Antallet af Transformationer i Gruppen. De tre Antal faaes, eftersom der ikke gives nogen 

 Transformation i Gruppen, der ombytter Dobbeltpunkterne for A, eller der gives en Trans- 

 formation , der ombytter 2 af dem . eller endelig en Transformation, der kredsforskyder 

 Dobbeltpunklerne. 



