25 .87 



Vi ville nu vise, at vi da ikke kunne have, at følgende. Relationer finde Sted 



aX, +ßX., .. . eXt = O ■ 

 aY,+ßY, ... s Y, = O 



aV, +ßV., ... sV, = 0. 



Vi knnne antage, at der ikke mellem færre af disse Størrelser kunne bestaa saadanne 

 Ligninger. 



Multipliceres nu den første Ligning med A^, den anden med B^ ... , den sidste 

 med Z, og adderes, faas 



ufjtiX^ -\- ßfj..^X^ . . . sf/kXj, = 0. 



Efter Forudsætningen kunne alle disse Værdier af Multiplikatorerne, /j.,, fx.^ . . . tu- 

 ikke være lige store. Antage vi nu fu: forskjellig fra (i^, kunne vi mellem den sidst fundne 

 Ligning og den første givne Ligning eliminere Xj;. 



Vi faa da en lineær Ligning mellem X^ og en Del af de øvrige Størrelser af X, 

 men ikke indeholdende Xk. Det ses at denne Ligning ogsaa er rigtig, naar man ombytter 

 X med Y, Z, . . . . Men dette strider mod Forudsætningen. Da vi nu, naar a er (/-dobbelt 

 Rod i (2), til a kunne lade svare q Dobbeltplaner, hvis Ligninger ere lineært uafhængige 

 af hinanden, ses herved at være vist, at der existerer (?!+ 1) Dobbeltplaner, hvis Ligninger 

 ere lineært uafhængige af hinanden. 



Hermed er da bevist, at de gjorte Forudsætninger ere tilstrækkelige. Da man, 



naar venstre Side af Ligningen for et Dobbeltplan, svarende til Multiplikatoren « er Pj, 



har ^ Pj = «P, , ses dette Dobbeltplan at maatte gaa gjennem alle de Dobbelpunkter, 



der svare til de andre Multiplikatorer; thi svarer et Dobbeltpunkt til Multiplikatoren ß og 



indsættes dets Koordinater i Ligningen fiP'y = «Pi, hai" man, da denne Ligning i dette 



Tilfælde skal være tilfredsstillet ved x = x\ y ^ y' . . . v = v'., fi ^ ß , 



ßP, = «P., 

 som kun er mulig naar Pj = 0. 



Omvendt ses det, at ethvert Plan, der gaar gjennem de Dobbeltpunkter, der svare 

 til alle de øvrige Multiplikatorer undtagen «, er et Dobbeltplan, der svarer til a. 



Thi, analogt med, hvad der er vist om Dobbeltplanerne, niaa der mellem de 

 Dobbeltpunkter, der ikke svare til «, kunne udvælges ?( -)- 1 —q, hvis Koordinater ere lineært 

 uafhængige af hinanden, naar a er en ^'-dobbelt Rod i (2), og igjennem disse n -\- i — q 

 Punkter kan der lægges en q — l-dobbelt-c» Række Planer, som da maa falde sammen 

 med de omtalte Planer, thi disse danne ogsaa en </ — 1 -dobbelt- cc Række. 



Analoge Sætninger med dem, der her ere udviklede om Dobbcltplanerne, gjælde 

 naturligvis om Dobbeltpunkterne. 



Vidcnsk. Selsk. Skr., S. Riclcko, naturvidcnsk. og matlicm. AM. V. 2. 12 



