47 109 



Vi kunne da have folgende Tilfælde: 



TOj = 2, JKg vilkaarlig, 

 TOj = 3, m^ = 3, 

 m i = -3, »«3 = i, 

 «12 = 3, «l3 = 5. 

 I første Tilfælde maa Gruppen bestaa af iV == 1m^ Transforma- 

 tioner. 



Den skal indeholde 2 Transformationer A og B af 2Je" Orden med forskjellige 

 tilhørende Samlinger, der hver indeholde — = -^^ Transformationer, og desuden en Trans- 



^ WÏ. — 1 



formation C af m„-die Orden med tilhorende Samlinger indeholdende —^ A' = m., — 1 



Transformationer. Altsaa maa de C tilhørende Samlinger kun bestaa af Potenserne af C. 



Det ses, at m,^ maa være et lige Tal, da -—- skal være hel. 



Der existerer en saadan Gruppe, den cykliske Gruppe. 



Er dernæst 



mo = 3, m,.^ == 3, 



faar man N = 12; men Gruppen er umulig. Den skulde bestaa af en Transfoi-maliou af 

 2iien Orden med tilhørende Samling paa 3 Transformationer, og 2 Samlinger paa 4 Trans- 

 formationer hver, hørende til 2 Transformationer iS og C af 3ilie Orden. 



En af Transformationerne , A, maatte ombytte Dobbeltpnnkterne for B\ men da 



har man 



AHA = B- 



AB = B-^A, 

 saa a.i AB er af 2tteii Orden, da den er sin egen omvendte Transformation, og paa samme 

 Maade er da ogsaa AB-* af 2<lcn Orden. De 3 Transformationer af 2(len Orden i Gruppen 

 ere da A, AB, A B-\ De ombytte alle 3 B's Dobbeltpunkter. Men paa samme Maade 

 ses, at alle 3 Transformationer ombytte C's Dobbeltpunkter og altsaa kunne skrives A, 

 AC, AC—\ hvad derer umuligt, da dette vilde fordre, at C var identisk med en Potens afiî. 



Vi have dernæst 



ni^ = 3 , 5Wg = 4. 



N bliver 24, Gruppen kommer til at bestaa af een Transformation af 2iicii, een af 

 3die og een af 4de Orden med tilhørende Samlinger, paa henholdsvis 6, 8, 9 Transforma- 

 tioner. Gruppen existerer, den saakaldte Oktaedergruppe eller Kubusgrnppe. 



Endelig har man 



m^ = 3, m.^ = 5. 



Dette giver N = 60. Gruppen kommer til at bestaa af een Transformation af 

 2deii Orden, een af 3die Orden og een af 5te orden med tilhørende Samlinger paa hen- 

 holdsvis 15, 20 og 2 i Transformationer. 



