49 111 



I en endelig Transformationsgriippe, der transformerer en ret Linie 

 til sig selv, er Dobbeltforholdet mellem Dobbel tpunl^terne for to vilkaar- 

 lige Transformationer henhørende til Grnppen altid reelt. 



21) Som Følge af 20) kunne vi paavise, at enhver endelig Gruppe Transformationer, 

 der transformerer en ret Linie til sig selv , altid indeholder en Transformation af 2Jen 

 Orden. 



Vi kunne nemhg altid antage, at Gruppen indeholder 2 Transformationer A og B, 

 hvis Dobbeltpunkter ere reelle, og vi antage, at de have forskjellige Dobbeilpunkter og 

 ikke selv ere af 2den Orden, da der i sidste Tilfælde ikke behøvedes noget Bevis. 



B antages at have Formen 



\ l^y' = «i/ 5 

 medens A har Formen 



^ ^ \ lioc' == ai.r + ii?y 



_ _ \ P-y' = «2*- + b„y, 



hvor «1 == 62 , a.j ^ — èj . 



Transformeres disse Transformationer ved 



fix' = J)X 



ij-y' = ?.y. 



bliver B uforandret, medens A bliver til 



og bestemmes nu —b, = i\h-. I, 



? p ' ' ' 



vil man have -«2 = ^l^i I, saa at Dobbeltpunkterne for A efter 20) ere reelle. 



n 



Danne vi nu AB'^A og antage, at denne er af ?ite Orden, saa er (AB'^A)'^ af 2Jeii 

 Orden, hvis n er lige. 



Hvis n derimod er ulige, saa er 



n — 1 n — 1 



(A B^A)^A B .BA(A B^A)~^ 

 en identisk Transformation. De 2 Dele, der ere adskilte ved Multlplikationstegnet, ere 

 saaledes beskafne, at den ene faas af den anden ved at ombytte A med B. Da Dobbelt- 

 punkterne i A og B ere reelle, saa faas de omvendte Transformationer af A og B ved i 

 Stedet for Koefficienterne i Transformalionsligningerne at sætte de konjugerede Størrelser. 

 Dette ses let ved at henføre Transformationerne til Dobbeltpunkterne, og altsaa for 

 A sætte 



ViJonsk, Solsk. Skv., 6. Rækko, naturvidcnsk. og matliem. AfJ. V. 2. ' 1-5 



