57 - 110 



AB'" A = B-'" 

 og 



AB"" ^ B-'^A , 



hvoraf ses, at A B'" er af 2<len Orden, da den er sin egen omvendte Transformation. 

 Det ses let, at Gruppen kun indeholder Transformationer af Formerne 



A og AB"', 

 thi da AB'" A ^^ B-'", kan man reducere et Produkt af Transformationer 



B^'AB'^'^AB'-'^A - 



ved stadigi at erstatte AB"'' A ved B-'"' o. s. v., lil kun at indeholde i det højeste 3 Fak- 

 torer og altsaa til at faa Formen 



BpABp', 

 og ved her for B^A at sætte AB-i" til 



ABp'-p. 



Herved er da Gruppens Endelighed bevist, og tillige ses ifolge 22), at naar B er pas- 

 sende valgt faar man den fuldstændige Gruppe og ikke en Undergruppe. 



Det ses ogsaa, at den indeholder (n — 1) Potenser af B, og n Transformationer af 

 2ilen Orden, der alle ombytte ^'s Dobbeltpunkter. Gjorde nemlig eu af dem ikke dette, 

 vilde Gruppen mindst indeholde 2 Transformationer af wtc Orden med forskjellige Dobbelt- 

 punkter. 



Transformeres A ved en vilkaarlig Transformation af Gj'uppeu , som kan skrives 



^"'^1% faas 



B'"A' . A . A' B-"' = B'"A B-'" = A B'-'". 



Er n nu et ulige Tal, ses da Samlingen, hvortil A hører, at indeholde alle n 

 Transformationer af 2ûen Orden, som høre til Gruppen. Er n derimod lige, saa er B~-"' 

 = ß2\2 "v , og Samlingen, hvortil A hører, kommer kun til at indeholde ^ Transforma- 

 tioner. Der er altsaa i dette Tilfælde 2 Samlinger Transformationer af 2deii Orden. 



25) Vi skulle nu betragte Tetraedergruppen. 



Gruppen skal i dette Tilfælde indeholde en Transformation af 3die Orden og en af 

 2den Orden, der ikke ombytter Dobbeltpunkterne for Transformationen af 3tlie Orden. 

 Vi kalde disse Transformationer 



i fj.æ' = iax + ihy 



og ■ 



^ I fiæ' = aæ _ _ i 4, ^ i/3 



- I /.y = äy "■ - 2 ' 



hvor A er af 2(lpn , B af S^ie Orden, og hvor vi antage Gruppen transformeret, saa at 

 baade A og B have reelle Dobbeltpunkter, saa at a og h ere reelle. 



Vidonsk. Selsk. Skr., G. Række, nalurvidcnsk. of matliom. Afd. V, 2. IG 



