148 86 



Lad os nil uiitagc, at P og /;, Q Oir q ere lieiiliol(l.>\is Centra lor oi: Axer for 

 (le 2 Transformationer A og B , ojr at (lruii[ien indcliolder en Transformation T. der 

 transformerer P og p lienholdsvis til Q og 7, og at T ikke har nogcl Dohlteltpiinkt fælles 

 ined A eller B. Linien PQ vil da. li\is «'iruppen er endelig. Kunne antages al transfor- 

 meres til sig selv ved en Oktaedergruppe. 



En saadan indeholder som hekjendt. se p. 56. 3 Transformationer af iiie (»rden 

 med forskjellige Dobbeltpunkter. Vi antage, Ai p og q skjære PQ i P^ og Q,, saa er 

 P, Q. P^. Qi de '1 Dobbeltpunkter for saadanne Transformationer af Linien. Der maa 

 altsaa være endnu et Par saadanne Dobbeltpunkter «S og S^. 



Vi kalde Skjæriugspunktet mellem p og g JR. 



Da der nu er Transformationer i Gruppen for den rette Linie , der omJjytte saa 

 vel Punkterne PP, indbyrdes som Punktparrene PP^ med QQ^ eller SS,, maa der gives 

 Transformationer, fremkomne ved Sammensætning af A og B. der ere perspektiviske og 

 have deres Axer gaaende gjenuem R og Punkterne P. Q, S. P, . Q,, S, medens deres 

 Centra ere P,, Q,, Sj, P, Q, S. 



Da nu PQ selv er Axe for en perspektivisk Transformation, maa T og dens 

 Potenser altid transformere PQ og enhver Perspektivaxe for en Transformation af ide 

 Orden hørende til Gruppen til Linier, der gaa gjennem et af de 6 Punkter P, Q, S, P, , 

 Qi, S^, da der ellers paa PQ vilde findes flere end 6 Dobbeltpunkter for Transformationer 

 af -ide Orden, som transformerede PQ til sig selv. Vi kunne tillige antage, at i det 

 mindste én Potens af T transformerer PQ til en Linie, der ikke gaar gjennem R, idet, 

 hvis dette skulde være Tilfældet, ellers en af Perspektivaxerue gjennem R vilde transfor- 

 meres til en Linie, der hverken gik gjennem R eller faldt sammen med PQ, og knude 

 anvendes paa samme Maade i Beviset, som vi her anvende PQ. 



Under den gjorte Forudsætning vil da den Linie, hvortil PQ transformeres, skjære 

 hver af de 6 Perspektivaxer gjennem R i et Dobbeltpunkt for en Transformation af ide 

 Orden, der transformerer hver af dem til sig selv. 



Ligesom ethvert Skjæringspunkt for 2 Perspektivaxer for Transformationer af i'lc 

 Orden er Centrum for en ny perspektivisk Transformation af i'le Orden, saaledes er enlner 

 Forbindelseslinie for 2 Centra for saadanne Transformationer en ny Perspektivaxe for en 

 saadan Transformation. 



Nu have vi set. at der existerede i det mindste 4 Axer, af hvilke ikke 3 gik 

 gjennem samme Punkt, idet PQ blev transformeret til en Linie, der hverken gik gjennem 

 R eller faldt sammen med PQ, og der gjennem R gik 6 saadanne Axer. 



Saadanne i Axer kunne vi nu tænke os omprojicerede til 2 vilkaarlige Par parallele 

 Linier, der staa vinkelrette paa hinanden, og- hvis Skjæringspunkter ere ABCD^). 



') Læseren bedes selv tegne en Figur. 



