87 149 



Da er den uendelig fjerne Linie ogsaa en Perspektivaxe , ligesom Linierne AC og 

 BD, der skjære hinanden i E, og Linier gjennem E parallele henholdsvis med AD og 

 AB. Lad os antage, at disse sidste Liniers Skjæringspunkter med Linierne AB, BC, 

 CD, DA ere a, b, c, d, da vil der være følgende nye Axer ab, ad. Ab, Bd, som ville skjære 

 DC i 4 Punkter forskjellige fra D, c. C, saa at der i det mindste paa denne Linie vilde 

 falde 7 Skjæringspunkter med andre Perspektivaxer, hvad der er umuligt, da disse Punkter 

 ere Centrer for perspektiviske Transformationer af 4<le Orden, og CD skulde transformeres 

 lil sig selv ved en endelig Transformationsgrnppe, saa at der i det højeste kunde være 6 

 saadanne Centra paa CD. 



Hvis altsaa en endelig Gruppe indeholder perspektiviske Transformationer af 4de 

 Orden, maa den enten være cyklisk, eller alle dens Transformationer maa transformere 

 samme rette Linie til sig selv. 



37) Vi komme nu til endelige Grupper, der indeholde perspektiviske Transforma- 

 tioner af 3<lie Orden. Kaldes en saadan Transformation A, antages det tillige, at Gruppen 

 indeholder en Transformation C, der ikke har et Dobbeltpunkt i ^'s Centrum, og trans- 

 formerer A til en Transformation B, saaledes at alle Transformationer i den Gruppe, der 

 kan dannes ved Sammensætning af ^ og B, transformere den Linie, der forbinder deres 

 Centra, til sig selv ved en Tetraedertransformation. Vi antage Koordinatsystemet lagt 

 ligesom i de forrige Tilfælde og antage da 



( jix' ^ ax i [j.x' =^ ax 



A = t-ty' = a'y B = \ fxy' = b^y^c.^z 



\ jiz' = az \ ;j.z' == b.,ij + c.^z, 



hvor a er en primitiv 9de Rod af Enheden. 



AB er en Transformation , der enten transformerer « = O til sig selv ved en 

 Transformation af 2den Orden eller af 3die Orden. Vi kunne antage det sidste, da ellers 

 dens Multiplikatorer vilde være a'^, la, — ia og (AB)"- være en perspektivisk Transforma- 

 tion af 6te Orden, hvad der vilde føre tilbage til før omtalte Grupper. 



A"^ B maa da transformere æ = O til sig selv ved en Transformation 

 af 2 de 11 Orden (være af 2den Orden for denne Linies Vedkommende), hvis Multipli- 

 katorer ere (da de kun ere bestemte paa nær en 1'' a k t o r , som er en v i 1 - 

 kaarlig 3die Rod af Enheden), 1, i, — i, dens anden Potens en perspektivisk 

 Transformation af anden Orden med Centrum i Skjæringspunktet for ^'s 

 og 5's Axer, Axe i Forbindelseslinien mellem deres Centra. 



Vi ville nu undersøge , hvilke Undergrupper der kan forekomme i den Gruppe , vi 

 undersøge, dannet ved Sammensætning af en perspektivisk Transformation af 2den Orden 



