101 • 163 



mationer uf 2dcn Orden, der luivc deres Cenlrer henholdsvis i æ =^ O, y ^ O og x = O, 

 z == 0. Vi ville først undersøge de Tilfælde, hvor vi for A bruge øverste Fortegn. 



Lad os forst antage, at A transformerer x = O ved en Transformation af ulige 

 Orden. Vi kunne da bruge akkurat de samme Betragtninger som i forrige Tilfælde. A 

 maa altid være af lige Orden og i dette Tilfælde af 2gde Orden, hvor q er et ulige Tal. 

 Sammensætningen af A og B giver da iq — 1 Transformationer, A og dens Potenser 

 2q— I Transformationer, medens der bliver 2q Transformationer af Ido Orden ved at 



danne Produkterne A"'B. I Forbindelse med de tilhørende Samlinger ville disse Transfor- 



io— 1 

 mationer tilsammen udgjøre -^ N Transformationer. 



Transformerer A x = O til sig selv ved en Transformation af lige Orden, maa A, 

 idet vi kun her tage Hensyn til øverste Fortegn, være af Ordenen iq, hvor q er et helt 

 Tal. Den cykliske Gruppe, hvorved x = Q transformeres til sig selv, kommer til at inde- 

 holde 3 forskjellige Samlinger. Kalde vi nemlig den Transformation, hvorved A transfor- 

 merer .« = O til sig selv, A', den tilsvarende hvorved B transformerer a; = O til sig selv 

 B' o. s. V., vil Gruppen for æ = O indeholde A' og dens Potenser, Samlingen bestaaende 

 af B' multipliceret med lige Potenser af A' og Samlingen bestaaende af A' multipliceret 

 med// lige Potenser, altsaa indeholdende henholdsvis Transformationerne A'^"'B' og A'^"'+' B'. 

 hvor m er et vilkaarligt Tal. Disse udgjøre den fuldstændige Gruppe, hvorved æ = O 

 transformeres til sig selv. De tilsvarende Transformationer for Planet A^"'B og A^'"'^' B 

 ere af 4de Orden, hver med 2 Dobbeltpunkter paa æ == O, og skulde en Transformation i 

 Gruppen transformere saadanne 2 Transformationer til hinanden, maatte den ogsaa trans- 

 formere æ; = O til sig selv. Men da existerede der for æ; = O en Transformation, for- 

 uden de nævnte, hvad der ikke kan være Tilfældet, under Forudsætning af, at A' er Trans- 

 formationen af højest Orden, hvorved æ = O transformeres til sig selv. 



De Transformationer, hvorved A transformeres til sig selv, med tilhørende Samlinger 



ville da i dette Tilfælde udgjøre —- iV Transformationer. 



■^ d>q 



Vi antage nu, at der skal bruges underste Fortegn; men at der ikke findes Trans- 

 formationer af 2den Orden med Centrum i « = O, ?/ = O eller « = O, « = 0. A maa 

 da være af Ordenen 85', hvor q er et helt Tal. Den kan nemlig ikke være af Ordenen 

 2(7, naar q er ulige, idet da ingen Potens af den vilde være en Transformation af 2den Orden 

 med Centrum i ?/ = O, « = 0. Den kan heller ikke være af Ordenen 4g', naar q er 

 ulige. Al vilde nemlig da være af 4de Orden, og da Koefficienten til x i første Ligning 

 for Al vilde være — 1, maatte den have Multiplikatorerne — 1, i, i og førte altsaa til de 

 Grupper, hvis Undersøgelse vi her forbigaa. 



Bruge vi de samme Betegnelser som før, vil der være i Gruppen for x = O tre 

 Samlinger, A' med Potenser, Transformationerne Ä-"'B\ Ä^™+^B'. De tilsvarende Trans- 



