170 108 



Mit l'iilycr iioylc \iil\(liiiniifi' al', li\orli'(U',s iii,-iii (illr kini iir^Jon' (inipiicriH's 

 MiiliuliiMl. idol i (loi riilgeiide (înippernes Umuligiied, livdi- de niiadlt' 'l'ai liH'i'rds.slilIr iS()|. 

 kuii vil hlivc iiæviil, ellci' i det Iwjeste Beviset kun aiilydel. 



El viytigl Middel liaves i Sætning (81). Hvis Grnnpen iiske er cyklisk, maa den i 

 det mindste indeliolde to Transformationer af nie Orden A og B m(Hl forskjellige Dolihell- 

 |und<ter, livis den indeholder en saadan, idet i modsat Tilfælde alle Transformatione!' i 

 Gruppen skulde lade A's Dobbeltpnnkter uforandrede eller ombytte dem, saa al Ciru])pen 

 mod Forudsætningen var cyklisk. 



Har nu A og B forskjellige Dobbeltpunkter, ville 



B, ABA-\ A'^BA-'- ... A"-'BA-"+' 

 vtcre lutter forskjellige Transformatione!', og to af dem kunne kun have sanime Ituldicll- 

 piinkler, hvis A eller en af dens Potenser ombylter lo eller alle tie l)olihcll|iimklei' 

 for B. Gruppen vil da i de nævnte Tilfælde mindst komme lil at indeholde, (da den for- 



TI 71 



uden de nævnte Transformationer indeholder y1), «-[- 1, -+ 1 eller ^^ -|- 1 Transforma- 

 tioner af jito Orden med forskjellige Dobbeltpunkter horende til samme Samling, og Sam- 

 lingen niaa da mindst indeholde 



(«-1)(«+1), («_l)(|+l^ eller («-])(| + 



Transformationer, og da Antallet af Ti'ansformationer i Samlingen skal va;re 



n — 1 n — I -, „ n — I 



iV, -- — N eller -^ — , 



n 2n an 



!Tiaa N i de tre Tilfælde være lig eller større end 



n(n -\- ]), 71 {n -\- 2) eller n(n -\~ 3). 



Det ses tillige, al de sidste Tilfælde kun kunne indtræde, naar n er delelig !ned 2 eller 3. 



i i) Det ses, at en Gruppe i del hnjeste kan indeholde en Samling af Transfo!'- 

 inationer, hvis Dobbeltpnnkter ikke ombyttes af nogen Ti'ansformation i Gruppen. 



Ere disse Transformationer af 2tlen Orden, kan Gruppen endnu indeholde en Sani- 

 ling Ti'ansformationer, for hvilke lo Dobbellpunkter ombytles ved en anden Transformation 

 i Grnppen '). 



Er denne anden Samling ogsaa af 2den Orden, d.v. s. ere dens Transformationer af 

 2(ien Orden, kunde Grnppen muligvis endnu indeholde enten 2 Samlinger Transformationer, 

 af 3die Orden, hvis Dobbeltpnnkter baade kredsforskydes og ombytles lo og to ved andre 

 Transformationer i Gruppen, eller een Samling Transformationer i Grupi)en, hvis J)obbelt- 

 punkter kan kredsforskydes ved en anden Transformation i Gruppen. Man har da 



') Her og i det Folgende er Gjcnnemgangen af en Del Muligheder l'orbigaael, der dog alle ses, ved 

 lignende Fremgangsmaader som de brugte, ikke at hore til virkelige Grupper. 



