186 124 



rt, + A„ + Ca = — I 

 «j -\- aO.^ -\- r/.c.^ -■= O 



«1 + «^»2 + «<-"3 = <•) 

 idet venstre Side af de to sidste Ligninger sl^al være konjiigercdc Størrelser, og iltkc 

 l<iinne være lig — a'' og — a^", da der saa vilde forekomme Transformationer af 2tlc" Orden, 

 der ombyttede A's DobbeUpunkter (smlgn. S. 107). 

 Heraf faas 



ßj = 62 = Cjj = — |- 



, 2 



o, Cj Cg -g-, 



saa at man faar 



B =. 



t 1,2,2 



I 2 1,2 



y-y = T*' — T^ + T« 



t 2,2 1 



^3 = T'-e + yî/ — T«- 



Alle Transformationer i Gruppen ville lade Keglesnittet 



uforandret, da Å og i? gjøre dette. 



Gruppens Endelighed bevises let herved. 



Vi se nemlig, at en lineær Transformation, der transformerer et Keglesnit til sig 

 selv, altid vil transformere et Punkt P til et Punkt Pj , saaledes at det anharmoniske 

 Forhold mellem QQi PP\ bliver lig med en af MultipHkatorerne'). 



Vi se da, at vi kunne betragte de Grupper, I hvilke alle Transformationer trans- 

 formere samme Keglesnit til sig selv, som en ikke lineær Transformation af de Grupper, 

 der lade en ret Linie uforandret. 



Invertere vi nemlig om et vilkaariigt Punkt som Inversionscentrum , vil den rette 

 Linie gaa over til en Cirkel, og da de anharmoniske Forhold mellem Punkterne af den 

 rette Linie blive lig med de anharmoniske Forhold mellem de tilsvarende Punkter af 

 Cirklen, vil der til enhver lineær Transformation af den rette Linie svare en lineær Trans- 

 formation af Cirklen, og til en endelig Gruppe lineære Transformationer af den rette 

 Linie svare en endelig Gruppe lineære Transformationer af Cirklen. 



Men den Gruppe, som er endelig for Cirklen, er ogsaa endelig for hele Planet. 



Thi en hvilkensomhelst ret Linie vil ved alle Transformationer i Gruppen kun 

 kunne transformeres til et endeligt Antal andre Linier, da dens Skjæringspunkter med 

 Cirklen kun kunne transformeres til et endeligt Antal andre Punkter af Cirklen. 



Men da et vilkaariigt Punkt af Planet kan opfattes som Skjæringspunkt mellem to 

 rette Linier, maa ogsaa et vilkaariigt Punkt af Planet kun kunne transformeres til et 

 endeligt Antal andre Punkter. 



') idet her bruges samme betegnelser som S. 183. 



