190 



128 



med Æ. Men ila niaalte A'B \xre lig en Transform.'ition CA' hørende lil Gruppen . idel 

 C er en Transforniatimi i ik'ii omlalle I iidergnippc. e\k-v A' B A'^' maaile Imre lil l iider- 

 gruppen, livad den ses ikke at gjøre. Skulde der være andre Grupper, der ikke indeholdt 

 Transformationer af højere end 4'lc Orden, viser (90), at Gruppen i 54) maatte være 

 Undergruppe i dem. 



Vi skulle nu se om Gruppen, dannet i .51), kan være Undergruppe i en anden 

 Gruppe, der da maalte være den S. 16.5 omtalte. Gruppen skulde da endnu indeliolde en 

 Transformalion C, af 4(le Orden, der ombyttede ..4's Dobbeiipiiiikler. og lixi.'^ anden ['olens 

 var identisk med A-. Man havde da 



IfiX' = Æ- 

 /ny' = pz 

 Hz' = qy. 



Den nye Gruppe maa mindst indeholde 72 Transformationer, idet naar T^. T, . . . 

 ere de forskjellige Transformationer i Gruppen 54) CT^, CT„ ... alle ere indbyrdes for- 

 skjellige og forskjellige fra T^, T, • ■ •) ^-^ ^ ellers liørte til Gruppen. 



Man maa altsaa have, hvis den nye Gruppe ikke skal indeholde flere end 72 

 Transformationer, CTj = TpC, eller at CT^C-^ alter hører til 54). 



Vi maa altsaa have, at 



CBC-' 



atter hører til Gruppen, og omvendt ses, at hvis dette er Tilfældet vil Gruppen o'i) være 

 Undergruppe i den nye Gruppe, idet man, da 



CA = A-'C, 

 i et Produkt 



A'C'B ... 



altid kan bringe Faktorerne C hen paa den forste Plads. 

 Man faar nn 



CBC~' 



1 1/3 — 1/3 1/3 + 



1/3 



2' ' 8 



./3 — VS —1—1/3 



1/3 - n 



»'— 8— ^' 4 



I/: 



3 + 1/3 



A/Ï -1+1/3 



K 8 5 7. " 



2' 1/2 — 1/2 iV + V''^ 

 Sætter man her q = , p = , ses denne al falde sammen 



med AB AB, og under Forudsætning af, al man vælger disse Værdier for p og q. er da 

 Gruppens Endelighed bevist. 



