141 



203 



Men det kan nu vises, at BA''B ogsaa hører til de omtalte Transformationer, 

 naar p er villvaarlig. Det er klart, at den gjor del for p ^ 3, men den vil ogsaa gjøre 

 det for enhver anden Værdi f. Ex. p = i6. Thi kredsforskydes Søjlerne i det bageste B, 

 Rækkerne i det første, 1 Gang, vil der komme til at staa B' A'^ B' , som hører til de 

 omtalte Transformationer; men denne Kredsforskydning vil kun have til Følge, at Rækkerne 

 og Søjlerne i den resulterende Transformation BA^B kredsforskydes, ved atter at kreds- 

 forskyde Rækkerne og Søjlerne i B' A^ B' en Gang i modsat Retning, vil man da have 

 BA'^B; men en Kredsforskydning af Rækker og Søjler i en af de omtalte Transformationer 

 vil atter give en Transformation af samme. Form. 



Men ganske paa samme Maade ses det, at en Transformation af Formen BA''B' 

 atter hører til de omtalte Transformationer; thi man kan forskyde Søjlerne i S', saa at 

 B' gaar over til at blive B; dette vil kun foranledige en Kredsforskydning af Søjlerne i 

 BAi'B', som altsaa ses at høre til de omtalte Transformationer. 



Det ses da, at mere sammensatte Produkter af ^, B, B\ B" ogsaa vil fore til- 

 bage til de nævnte Transformationsformer, undtagen hvis der skulde forekomme Sammen- 

 sætninger af B . B'. 



Lad os da se, hvad dette giver. Man har 



BB' = 



saa at disse Sammensætninger føre til Transformationerne 



pix' = y fxx' = z 



jiy' ^ z eller ny' = x 

 p.z' = X ^ pz' = y, 



og almindeligere ved at sammensætte disse med Potenser af A 



px' = fxFy ( px' 



. t.y - a'"z, U ^ J ^y = éi'x 



\pz' 



p r q 





q p r 





1 



r q p 





p r q 



= 



1 



'1 P 1' 





V q p 





1 



^ ^ ! ;"/ 



,,-iP 



(C^x 



pz' ^ f/''y. 



Det ses, at Sammensætninger af Transformationer af Formerne D med de allerede 

 forhen nævnte, atter høre til Transformationer af de samme Former, idet man ved at 

 multiplicere med IP kun faar Søjler eller Rækker kredsforskudte. Gruppens Endelighed 

 er hermed bevist. 



Da alle Transformationerne ere indesluttede i følgende Former 

 Af, A'rBA", A"'B'A", A"'B"A^, DA'\ D'A", 

 hvor^j, ;«, n kunne tillægges alle Værdier fra O til (j, faas, idet den identiske Transfor- 

 mation medregnes, Antallet af Transformationer horende til Gruppen at være 



7 + 3 .49 + 14 = 168, 

 saaledes som det skulde være. 



