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l^es plans sur lesquels la Iranslorniatiun n"c\erec aucune acthui soul appelés des 

 ]ilau> doubles. Si toutes les rarlnes de TiMination (2) sent inégales, il y aura n -)- • 

 plans doubles. 



r.onnaissani les roordonuées dun point double, relies dun plan double s'ob- 



lieudrout en reni|daeanl a, , />, ... par A^ . B^ . . . el /i par — . On \oil dour i|n'à 



cbaque point double répond un plan double. 



4) Cbaque plan double renferme tous les points doubles ipii ne répondent pas au 

 plan, et réciproquement tous les plans doubles qui ne répondent pas i\ uu point double 

 passent par ce point. 



•il Si (2| n"a pas de racines égales, les équations ili pourront se mettre sous 

 la forme: 



;^,P\ = aP„ 



f^l^n + i = /.^«-t-l, 



OÙ «,/?... / sont des constantes et F^. F„ . . . P„-^-i les premiers membres des équations 

 des plans doubles. On appelle a. ß . . . k les multiplicateurs de la transformation, et peut 

 toujours supposer a.ß ... ). = 1. Ces multiplicateurs ne sont déterminés qu'à un 

 facteur près, qui peut être une racine d'ordre (n -f- li de l'unité. 



6i Déterminons les multiplicateurs d'une transformation donnée sous la forme (li. 

 En résolvant les équations (12l par rapport à ,UiX', fi^y' . . . /jl^v', on doit arriver aux 

 équations (1) et l'on voit que fi et fx^ ne peuvent difîerer que par un facteur constant, ce 

 qui permet de poser /i^ = kf^, k étant une constante. 



Le point double qui répond à Fn+t = est déterminé par P, = P., . . . Pp = 0. 

 En posant x' ^ x.y' ^ y. . . . v' ^ v, on voit que ). est la valeur de u, qui répond à 

 ce point double, et que la valeur correspondante de fi est une racine de i2l. On a donc 

 À = k/i, fi étant une racine de |2l. Le dernier terme de (2) est ^^^ t , ce qui donne 

 a.ß ... ?..k"+'^ = 1, d'où i""*"* ^ l. Les multiplicateurs n'étant déterminés qu'il un 

 facteur près, qui est une racine d'ordre (?< + 1) de l'unité, on peut poser k ^ 1. 



Les multiplicateurs de (1) sont donc les racines de (2|, si cette équation n'a pas 

 de racines égales. 



7) Si une transformation devient identique en étant élevée à une puissance 7n, 

 on dit qu'elle est d'ordre m. au cas qu'elle ne devienne pas identique lorsqu'on l'élève à 

 une puissance moindre que m. 



Si (2) n'a pas de racines égales, la transformation est d'ordre m lorsque m et 

 n -{- i sont premiers entre eux, et les multiplicateurs, des racines primitives d'ordre m 

 de l'unité. 



Si m et «+ 1 ne sont pas premiers entre eux, nous nous bornerons ;i examiner 

 le cas où m = p^ , p étant un nombre premier, tandis que » -t- 1 renferme le facteur p\ 

 Dans ce cas, les multiplicateurs, lorsque la transformation est de l'ordre /)», doivent être 

 de la forme ^a, y ß ... yl., y étant une racine d'ordre p'+' de l'unité et a, ß, y . . . / 

 des racines d'ordre p'' de l'unité. 



