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8) Si (2) a des racines égales, en cherchant les conditions nécessaires et 

 suffisantes pour qu'une puissance de la transformation (1) soit la transformation identique, 

 on arrive au résultat suivant: 



Les racines de (2) doivent être des racines de l'unité, et si Tune d'elles est du 

 degré p de multiplicité, les plans doubles qai répondent à cette racine doivent l'ormer une 

 suite infinie du degré p — 1 de multiplicité. 



On appelle toujours les racines de (2) les multiplicateurs de la transformation. 



Tout plan double qui répond à un multiplicateur renfermera toujours tous les 

 points doubles qui ne répondent pas à ce multiplicateur, et réciproquement tout point 

 double qui' répond à un multiplicateur sera situé dans tout plan double qui ne répond 

 pas à ce multiplicateur. 



IL Combiuftisous des traiisf'ormatioiis. 



10) Nous chercherons à déterminer la forme des transformations appartenant à 

 des groupes qui ne renferment que des transformations dont les multiplicateurs ont le 

 module 1, et qui peuvent être mises sous la forme (12). 



Nous supposons que le groupe contient les transformations A qï B , que les 

 multiplicateurs de A sont tous ditféi-ents, et qu'on a pris pour plans fondamentaux du 

 système des coordonnées les plans doubles de A. 



Les transformations A et B sont alors représentées par les équations : 



A = 



lix ^ ax 



l'y = ßy et z? ^ 



fiv' ^ ?,v 



fix' = a^x + b^y . . . l^v 

 fiy' = a^x -f- b,,y . . . l^v 



fit 



On^ix -|- b,,^iy . . . l„+i V. 



Les multiplicateurs de B sont déterminés par l'équation: 



a«+i o«+i . . . l„+\ — fi 

 qui peut aussi s'écrire sous la forme: 



«2 b.^ 



H b, 



■ h 



= 0, 



^ 



I7-(-l 



(«1 + 62 . . . ln+i)!JL" + ((«1 62) + (a, C3) . . .)/_/"-! 



«1 ^1 



(A^ ■{■ B, . . . L„+i) fi ± i = 0, 



(24) 



(«1 b,^) étant égal à 



■■■2 "2 



Comme |/^| = 1 (|^ 

 si l'on y remplace /i par — , puisque /u = — , et a,, b^ 

 juguées, on doit avoir: 



et ^4j, B2 ... étant les sous-déterminants de «1, b^ . . . 

 = le module de fi), et que l'équation (2^1) doit être satisfaite 



h+i par leurs valeurs con- 



«I + èj . . . /„+! = ^1 .4- B^ . . . Bn + i 



(«1^2) + («l«3)--- =(Ä^) + (A^)- 



Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. op mathem. Afd. V. 2. 



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