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oil I'ou prend le signe supérieur ou intérieur .>ui\unt ipie a^ =^ n.-"!»- L,«!? équations {'ib) 

 el celles qu'on obtient en considérant les éléments qui correspondent ii a.j, a, ... a,+i 

 dans C~^A"'B, montrent que chaque élément du déterminant de C est le conjugué de 

 son sous-déterminant avec le signe + ou — . On voit aussi que tous les éléments du 

 déterminant de C. dans une colonne, sont les conjugués de leurs sous-déterminants, tous 

 avec le même signe que dans la première colonne, ou avec un signe contraire. Il résulte 

 en outre de |29) que deux éléments symétriques par rapport au terme principal sont les 

 conjugués de leurs sous-déterminants avec le même signe. 

 16) Si l'on pose: 



/ = XX -r s^yt/ -\- e^zz - ■ • £nBV 

 et remplace x, y, z . . . v par «.r', jji/, fiz . . . _«r', ces quantités étant déterminées par (I) 

 et les coefficients de ili remplissant les conditions du § 15. ou voit que / ne varie pas 



lorsque Sp ^ 4i ' ; suivant que «y ^ — : ^p- 



Réciproquement, si une transformation A est telle que ^ix'. uy . . . fie substitués 

 dans / à .i-, y ... v, ne font pas varier/, les coefficients de A rempliront les conditions 

 du ? 15. le déterminant de A étant 1. 



in. Oronpes finis des trausfonuatious de la ligue di'oite. 



ITi Supposons qu'un groupe Qui renferme les deux transformations: 

 ^ ^ ^ Haf = a^x + b^y ^ _ ( u-r = ax 



\ ßy' = a,x -L- b.,y \^y'==ßy. 



a.^ et i, devront être nuls en même temps, car si a, seul l'était, BAB-'^A-' ne 

 pourrait appartenir à un groupe âni. 



Nous avons, d'après le g 15. a, ^b,. a, =-j-b^ ; mais on ne peut avoir a^ =^i, 

 car ABA^'^B^'^ serait alors une transformation qui ne peut pas figurer dans un groupe uni. 



18i Xous allons maintenant déterminer les groupes finis possibles, notamment 

 leur ordre et le nombre de transformations qu'ils contiennent. 



Supposons qu'un groupe renferme une transformation A et transformons A par 

 toutes les transformations du groupe, ce qui revient à former toutes les transformations 

 C ^ BAB—\ B étant une transformation arbitraire du groupe. jN'ous obtiendrons ainsi 

 A' transformations C ly compris la transformation identiquei, qui cependant ne seront 

 pas toutes différentes. 



Toutes les transformations dift'érentes qui ont été formées en transformant A par 

 toutes les transformations d'un groupe, constituent ce que nous appellerons la série de A. 



C'est sur le nombre des transformations d'une pareille série que portera notre 

 recherche. S'il y a dans le groupe un certain nombre p de transformations qui ne font 

 pas varier A. il y en aura tout autant qui ne feront pas varier toute autre transformation 

 de la série de A. Toutes les transformations qui ont les mêmes points doubles que A 

 sont des puissances d'une seule et même transformation, et, sans restreindre la généralité 

 des considérations qui suivent, nous pouvons supposer que cette transformation est A. 

 Si A est d'ordre n, n étant plus grand que 2, A et ses puissances sont les seules trans- 



