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formations qui ue fassent pas varier A. En désignant par 5 le nombre des transformations 



de la série de A, on aura done 7iS = \ d'où 6' ^=-^ — . Toutes les transformations d'une 



)( 



même série ont les mêmes multiplicateurs, et par suite deux transformations d'nne même 



série ne peuvent avoir de points doubles communs, à moins que l'une d'elles ne soit la 



transformation inverse de l'autre. 



Si une transformation A et son inverse appartiennent à la même série, il doit y 



avoir dans le groupe une transformation qui permute les points doubles de A. Chaque 



N 

 série de Ap renferme donc aussi — transformations, à moins que A et ^ ' n'appar- 

 tiennent à la même série et que A^ ne soit du deuxième ordre, et, dans ce cas, la série 



N 

 de Ap se compose de ^transformations. Appelons les séries appartenant à toutes les trans- 

 formations qui ont les mêmes points doubles, les séries de ces points doubles, ou celles 

 d'une des transformations (lui ont ces points doubles: les séries de J comprendront alors 



(n — 1 1 iV (71 — 1 1 A' „ . 



ou :z — — transformations , suivant que le troupe ne contient pas ou con- 



n . 2n 1 ■- r 



tient- une transformation qui permute les points doubles de A. 



Il reste à trouver combien de transformations renferme une transformation du 

 deuxième ordre avec sa série, lorsque A n'est pas une puissance d'une autre transformation. 



S'il n'y a aucune transformation qui permute les points doubles de A, A et sa 



série contiennent — transformations. 



Y a-t-il une transformation B qui permute les points doubles de A, A et BAB^' 



sont identiques. B doit aussi être du deuxième ordre, car di'; 



A EEE BAB ' 



il suit que : 



B = ABA-'. 



Il est maintenant facile de \oir que si une transformation C, autre que B, permute 



les points doubles de A. elle doit être identique à AB, car autrement CB serait une 



transformation ayant les mêmes points doubles ([ue A, sans cependant lui être identique. 



Il y a donc dans le groupe i transformations qui ne font pas varier .4 , à savoir la 



N 

 transformation identique, A, B et AB. A. avec sa série, contient -^ transformations. 



19) Comme le groupe, outre les séries qu'il contient, renferme encore la trans- 

 formation identique, nous aurons la proposition suivante: 

 Si un groupe se compose des transformations: 



^1, A^ ... de l'ordre n,, «g ■■• 6t 

 5i, ßo ... de l'ordre ??ij, m,^ . . . 

 avec leurs séries respectives, et qu'il n'y ait aucune transformation d'un ordre plus élevé 

 que ?*!, n., ... ;«j, m,, ... avec les mêmes points doubles que A^, A.2 . . . 5,, B.^ . . ., 



on aura : 



'n, — 1 «o — 1 



iV 



?i.. 



2 nil im, j 



